如圖，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別為A1B1、B1C1、C1D1的中點．
（1）求異面直線AG與BF所成角的余弦值；
（2）求證：AG∥平面BEF；
（3）試在棱BB1上找一點M，使DM⊥平面BEF，并證明你的結(jié)論．
（1）以D為坐標原點，DA，DC，DD1分別作為x軸，y軸和z軸建立空間直角坐標系，
則A（1，0，0），B（1，1，0），E(1，
1
2
，1)，F(
1
2
，1，1)，G(0，
1
2
，1)，
∴
AG
=(-1，
1
2
，1)，
BF
=(-
1
2
，0，1)，
∴cos＜
AG
，
BF
＞=
3
2
3
2
•
5
2
=
2
5
5

故異面直線AG與BF所成角的余弦值為
2
5
5
．
（2）∵
EF
=(-
1
2
，
1
2
，0)，
BF
=(-
1
2
，0，1)，
而
AG
=(-1，
1
2
，1)，∴
AG
=
EF
+
BF
，
故
AG
與平面BEF共面，
又因為AG不在平面BEF內(nèi)，
∴AG∥平面BEF．
（3）設(shè)M（1，1，m），則
DM
=(1，1，m)
由
DM
•
EF
=0，
DM
•
BF
=0，
∴-
1
2
+m=0⇒m=
1
2
，
所以M為棱BB1的中點時，DM⊥平面BEF．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

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設(shè)兩不同直線a，b的方向向量分別是
e1
，
e2
，平面α的法向量是
n
，
則下列推理①
e1
∥
e2
e1
∥
n
⇒b∥α；②
e1
∥
n
e1
∥
n
⇒a∥b；③
e1
∥
n
b?α
e1
⊥
e2
⇒b∥α；④
e1
∥
e2
e1
∥
n
⇒b⊥α；
其中正確的命題序號是（　�。�
A．①②③B．②③④C．①③④D．①②④

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

在如圖所示的幾何體ABCED中，EC⊥面ABC，DB⊥面ABC，CE=CA=CB=2DB，∠ACB=90°，M為
AD的中點．（1）證明：EM⊥AB；（2）求直線BM和平面ADE所成角的正弦值．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：單選題

如圖，平面α⊥平面β，A∈α，B∈β，AB與平面α所成的角為
π
4
，過A、B分別作兩平面交線的垂線，垂足為A′、B′，若AB=3A'B'，則AB與平面β所成的角的正弦值是（　　）
A．
14
6
B．
5
5
C．
22
6
D．
3
3

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，等邊△SAB與直角梯形ABCD垂直，AD⊥AB，BC⊥AB，AB=BC=2，AD=1．若E，F(xiàn)分別為AB，CD的中點．
（1）求|
SC
+
SD
|的值；
（2）求面SCD與面SAB所成的二面角大�。�

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源：不詳 題型：解答題

如圖，在底面是正方形的四棱錐P-ABCD中，PA=AB=1，PB=PD=
2
，點E在PD上，且PE：ED=2：1．
（1）求證：PA⊥平面ABCD；
（2）求二面角D-AC-E的余弦值；
（3）在棱PC上是否存在一點F，使得BF∥平面ACE．

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同步練習(xí)冊答案