已知橢圓的一個焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,且截拋物線的準(zhǔn)線所得弦長為,傾斜角為的直線過點(diǎn).
(1)求該橢圓的方程;
(2)設(shè)橢圓的另一個焦點(diǎn)為,問拋物線上是否存在一點(diǎn),使得與關(guān)于直線對稱,若存在,求出點(diǎn)的坐標(biāo),若不存在,說明理由.
(1);(2)拋物線上存在一點(diǎn),使得與關(guān)于直線對稱.
【解析】
試題分析:(1)求橢圓的方程,可利用待定系數(shù)法求出的值即可,首先確定拋物線的焦點(diǎn)與準(zhǔn)線方程為,利用橢圓焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合,得,且截拋物線的準(zhǔn)線所得弦長為,得交點(diǎn)為,建立方程,求出的值,即可求得橢圓的方程;(2)根據(jù)傾斜角為的直線過點(diǎn),可得直線的方程,由(1)知橢圓的另一個焦點(diǎn)為,利用與關(guān)于直線對稱,利用對稱,可求得的坐標(biāo),由此可得結(jié)論.
試題解析:(1)拋物線的焦點(diǎn)為,準(zhǔn)線方程為,
∴ ① 2分
又橢圓截拋物線的準(zhǔn)線所得弦長為,
∴ 得上交點(diǎn)為,∴ ② 4分
由①代入②得,解得或(舍去),
從而
∴該橢圓的方程為該橢圓的方程為 6分
(2)∵ 傾斜角為的直線過點(diǎn),
∴ 直線的方程為,即, 7分
由(1)知橢圓的另一個焦點(diǎn)為,設(shè)與關(guān)于直線對稱,則得 , 9分
解得,即, 2分
又滿足,故點(diǎn)在拋物線上。所以拋物線上存在一點(diǎn),使得與關(guān)于直線對稱。 13分
考點(diǎn):直線與圓錐曲線的綜合問題;橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程;拋物線的簡單性質(zhì).
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選修4-1知能達(dá)標(biāo)2-4練習(xí)卷(解析版) 題型:選擇題
如圖所示,AB是⊙O的直徑,EF切⊙O于C,AD⊥EF于D,AD=2,AB=6,則AC的長為
A.2 B.3
C.2 D.4
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選修4-1知能達(dá)標(biāo)1-3練習(xí)卷(解析版) 題型:解答題
(拓展深化)如圖,M為線段AB的中點(diǎn),AE與BD交于點(diǎn)C,∠DME=∠A=∠B=α.且DM交AC于F,ME交BC于G,
(1)寫出圖中三對相似三角形,并證明其中的一對;
(2)連接FG,如果α=45°,AB=4,AF=3,求FG的長.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選修4-1知能達(dá)標(biāo)1-2練習(xí)卷(解析版) 題型:選擇題
如圖所示,AD是△ABC的中線,E是CA邊的三等分點(diǎn),BE交AD于點(diǎn)F,則AF∶FD為
A.2∶1 B.3∶1
C.4∶1 D.5∶1
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年高中數(shù)學(xué)人教A版選修4-1知能達(dá)標(biāo)1-1練習(xí)卷(解析版) 題型:填空題
在梯形ABCD中,M、N分別是腰AB和腰CD的中點(diǎn),且AD=2,BC=4,則MN=________.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年陜西西安第一中學(xué)高三第二學(xué)期第二次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
如圖所示,過圓O外一點(diǎn)P分別作圓的切線和割線交圓于A,B,且PB = 7, C是圓上一點(diǎn)使得BC = 5,,則AB =____________
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年陜西西安第一中學(xué)高三第二學(xué)期第二次模擬考試?yán)砜茢?shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:選擇題
規(guī)定表示不超過的最大整數(shù),例如:[3.1]=3,[2.6]=3,[2]=2;若是函數(shù)導(dǎo)函數(shù),設(shè),則函數(shù)的值域是( )
A. B. C. D.
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科目:高中數(shù)學(xué) 來源:2013-2014學(xué)年陜西西安第一中學(xué)高三第二學(xué)期第二次模擬考試文科數(shù)學(xué)試卷(解析版) 題型:填空題
如圖,在圓O中,直徑AB與弦CD垂直,垂足為E,,垂足為F,若,,則
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