Question

平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，給定兩點(diǎn)A（1，0），B（0，一2），點(diǎn)C滿足，其中，且．
（1）求點(diǎn)C的軌跡方程；
（2）設(shè)點(diǎn)C的軌跡與橢圓交于兩點(diǎn)M,N，且以MN為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)，求證：為定值；
（3）在（2）的條件下，若橢圓的離心率不大于，求橢圓長(zhǎng)軸長(zhǎng)的取值范圍。

Answer 1

（1）。
（2）由
以MN為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O，
為定值。
（3）橢圓長(zhǎng)軸的取值范圍是。

試題分析：（1）設(shè)，由可得

有，即點(diǎn)C的軌跡方程為                 4分
（2）由
設(shè)
則
∵以MN為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O，

為定值               9分
（3）



∴橢圓長(zhǎng)軸的取值范圍是                     12分
點(diǎn)評(píng)：中檔題，本題求軌跡方程，主要運(yùn)用的是平面向量的線性運(yùn)算及向量的坐標(biāo)運(yùn)算和向量的相等。研究直線與圓錐曲線的位置關(guān)系，往往應(yīng)用韋達(dá)定理，通過(guò)“整體代換”，簡(jiǎn)化解題過(guò)程，實(shí)現(xiàn)解題目的。