Question

如圖，S（1，1）是拋物線為y²=2px（p＞0）上的一點(diǎn)，弦SC，SD分別交x軸于A，B兩點(diǎn)，且SA=SB．
（I）求證：直線CD的斜率為定值；
（Ⅱ）延長(zhǎng)DC交x軸于點(diǎn)E，若|EC|=|DE|，求cos2∠CSD的值．

Answer 1

【答案】分析：（1）將點(diǎn)（1，1）代入y²=2px，得2p=1，拋物線方程為y²=x，設(shè)直線SA的方程為y-1=k（x-1），C（x₁，y₁），與拋物線方程y²=x聯(lián)立得：ky²-y+1-k=0．再由根與系數(shù)的關(guān)系能夠?qū)С鲋本�CD的斜率為定值．
（2）設(shè)E（t，0），由|EC|=|DE|，得，知 ，解得k=2，所以直線SA的方程為y=2x-1，由此能求出cos∠CSD=cos∠ASB的值，利用二倍角公式即可求得結(jié)果．
解答：解：（1）將點(diǎn)（1，1）代入y²=2px，得2p=1
∴拋物線方程為y²=x
設(shè)直線SA的方程為y-1=k（x-1），C（x₁，y₁）
與拋物線方程y²=x聯(lián)立得：ky²-y+1-k=0
∴y₁+1=∴y₁=-1

由題意有SA=SB，∴直線SB的斜率為-k
∴
∴；
（2）設(shè)E（t，0）
∵|EC|=|DE|，
∴
∴

∴k=2
∴直線SA的方程為y=2x-1
∴A（ ，0）
同理B（ ，0）
∴cos∠CSD=cos∠ASB=．
∴cos2∠CSD=2cos²∠ASB-1=-．
點(diǎn)評(píng)：本題考查直線和圓錐曲線的位置關(guān)系，解題時(shí)要認(rèn)真審題，注意公式的合理運(yùn)用，考查分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力和運(yùn)算能力，屬中檔題．