已知：在平面直角坐標(biāo)系xOy中，二次函數(shù)y=x2-（m+1）x-m-2的圖象與x軸交于A、B兩點，點A在x軸的負半軸，點B在x軸的正半軸，與y軸交于點C，且OB=3OA．
（1）求這個二次函數(shù)的解析式；
（2）設(shè)拋物線的頂點為D，過點A的直線y=
1
2
x+
1
2
與拋物線交于點E．問：在拋物線的對稱軸上是否存在這樣的點F，使得△ABE與以B、D、F為頂點的三角形相似，若存在，求出點F的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由；
（3）點G（x，1）在拋物線上，求出過點A、B、G的圓的圓心的坐標(biāo)．
（1）由題設(shè)條件，設(shè)A（-x0，0），B（3x0，0）（x0＞0），
則x0=
m+1
2
，
∴由A（-x0，0），知(-
m+1
2
)2-(m+1)×(-
m+1
2
)-m-2=0，
即3m2+2m-5=0，
解得m=1，或m=-
5
3
（舍）．
∴這個二次函數(shù)的解析式為y=x2-2x-3．
（2）在拋物線的對稱軸上存在這樣的點F，使得△ABE與以B、D、F為頂點的三角形相似．∵這個二次函數(shù)的解析式為y=x2-2x-3，
∴A（-1，0），B（3，0），D（1，-4），
對稱軸為直線x=1．
∵過點A的直線y=
1
2
x+
1
2
與拋物線交于點E，
∴
y=x2-2x-3
y=
1
2
x+
1
2
，
解得
x=1
y=0
或
x=
7
2
y=
9
4
，
∴點E的坐標(biāo)為（
7
2
，
9
4
）．
過點E作EH⊥x軸于H
在Rt△AEH中，可求AE=
9
4
5
．
若對稱軸與直線y=
1
2
x+
1
2
交于點P，
∴P點坐標(biāo)為（1，1）
∵對稱軸與x軸垂直，交點為點M，
∴在Rt△BMD中，可求BD=2
5
，
在Rt△APM中，tan∠PAM=
PM
AM
=
1
2
，
在Rt△BMD中，tan∠MDB=
BM
DM
=
1
2
，
∴∠PAM=∠MDB．
由題意，要使得在拋物線的對稱軸上存在點F，使得△ABE與以B、D、F為頂點的三角形相似，只需要
AB
AF
=
DB
DE1
或
AB
AE
=
DF2
DB
．

∴
4
9
5
4
=
2
5
DF1
，
解得DF1=
45
8
，
∴點F1 的坐標(biāo)為（1，
13
8
）．
或
4
9
5
4
=
DF2
2
5
，
解得 DF2=
32
9
，
∴點F2 的坐標(biāo)為（1，-
4
9
）．
綜上，符合題意的F點坐標(biāo)為F(1，-
4
9
)或F(1，
13
8
)．
（3）∵點G（x，1）在拋物線上
∴點G的坐標(biāo)為（1±
5
，1），
又∵A、B、G在同一圓上
∴圓心一定在拋物線的對稱軸上
∵PA=PA=PG=
5
，
∴點P即為過點A、B、G的圓的圓心
∴點P的坐標(biāo)為（1，1）．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點P是直角坐標(biāo)平面內(nèi)的動點，點P到直線l1：x=-2的距離為d1，到點F（-1，0）的距離為d2，且
d2
d1
=
2
2
．
（1）求動點P所在曲線C的方程；
（2）直線l過點F且與曲線C交于不同兩點A、B（點A或B不在x軸上），分別過A、B點作直線l1：x=-2的垂線，對應(yīng)的垂足分別為M、N，試判斷點F與以線段MN為直徑的圓的位置關(guān)系（指在圓內(nèi)、圓上、圓外等情況）；
（3）記S1=S△FAM，S2=S△FMN，S3=S△FBN（A、B、M、N是（2）中的點），問是否存在實數(shù)λ，使S22=λS1S3成立．若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．
進一步思考問題：若上述問題中直線l1：x=-
a2
c
、點F（-c，0）、曲線C：
x2
a2
+
y2
b2
=1(a＞b＞0，c=
a2-b2
)，則使等式S22=λS1S3成立的λ的值仍保持不變．請給出你的判斷
 
 （填寫“不正確”或“正確”）（限于時間，這里不需要舉反例，或證明）．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知點P是直角坐標(biāo)平面內(nèi)的動點，點P到直線l1：x=-2的距離為d1，到點F（-1，0）的距離為d2，且
d2
d1
=
2
2
．
（1）求動點P所在曲線C的方程；
（2）直線l過點F且與曲線C交于不同兩點A、B（點A或B不在x軸上），分別過A、B點作直線l1：x=-2的垂線，對應(yīng)的垂足分別為M、N，試判斷點F與以線段MN為直徑的圓的位置關(guān)系（指在圓內(nèi)、圓上、圓外等情況）；
（3）記S1=S△FAM，S2=S△FMN，S3=S△FBN（A、B、M、N是（2）中的點），問是否存在實數(shù)λ，使
S
2
2
=λS1S3成立．若存在，求出λ的值；若不存在，請說明理由．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

【選做題】在A，B，C，D四小題中只能選做2題，每題10分，共計20分．請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時寫出文字說明、證明過程或演算步驟．
21-1．（選修4-2：矩陣與變換）
設(shè)M是把坐標(biāo)平面上的點的橫坐標(biāo)伸長到2倍，縱坐標(biāo)伸長到3倍的伸壓變換．
（1）求矩陣M的特征值及相應(yīng)的特征向量；
（2）求逆矩陣M-1以及橢圓
x2
4
+
y2
9
=1在M-1的作用下的新曲線的方程．
21-2．（選修4-4：參數(shù)方程）
以直角坐標(biāo)系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸．已知點P的直角坐標(biāo)為（1，-5），點M的極坐標(biāo)為（4，
π
2
），若直線l過點P，且傾斜角為 
π
3
，圓C以M為圓心、4為半徑．
（1）求直線l關(guān)于t的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程；
（2）試判定直線l和圓C的位置關(guān)系．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

[選做題]在A、B、C、D四小題中只能選做2題，每小題10分，計20分．請把答案寫在答題紙的指定區(qū)域內(nèi)．
A．（選修4-1：幾何證明選講）
如圖，圓O的直徑AB=8，C為圓周上一點，BC=4，過C作圓的切線l，過A作直線l的垂線AD，D為垂足，AD與圓O交于點E，求線段AE的長．
B．（選修4-2：矩陣與變換）
已知二階矩陣A有特征值λ1=3及其對應(yīng)的一個特征向量α1=
1
1
，特征值λ2=-1及其對應(yīng)的一個特征向量α2=
1
-1
，求矩陣A的逆矩陣A-1．
C．（選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程）
以平面直角坐標(biāo)系的原點O為極點，x軸的正半軸為極軸，建立極坐標(biāo)系（兩種坐標(biāo)系中取相同的單位長度），已知點A的直角坐標(biāo)為（-2，6），點B的極坐標(biāo)為(4，
π
2
)，直線l過點A且傾斜角為
π
4
，圓C以點B為圓心，4為半徑，試求直線l的參數(shù)方程和圓C的極坐標(biāo)方程．
D．（選修4-5：不等式選講）
設(shè)a，b，c，d都是正數(shù)，且x=
a2+b2
，y=
c2+d2
．求證：xy≥
(ac+bd)(ad+bc)
．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

（2013•南通二模）選修4-4：坐標(biāo)系與參數(shù)方程
在平面直角坐標(biāo)xOy中，已知圓C1：x2+y2=4，圓C2：(x-2)2+y2=4．
（1）在以O(shè)為極點，x軸正半軸為極軸的極坐標(biāo)系中，分別求圓C1，C2的極坐標(biāo)方程及這兩個圓的交點的極坐標(biāo)；
（2）求圓C1與C2的公共弦的參數(shù)方程．

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同步練習(xí)冊答案