Question

【題目】已知函數(shù)有兩個零點、，，則下面說法不正確的是（ ）

A.B.

C.D.有極小值點，且

Answer 1

【答案】C

【解析】

先證明出對數(shù)平均不等式，由題意得出，將兩式作差結合對數(shù)平均不等式可判斷出A、B選項的正誤，利用導數(shù)分析函數(shù)的單調性，結合該函數(shù)的極值以及該函數(shù)有兩個零點可判斷出選項的正誤，求出極值點，將中兩等式相加可判斷D選項的正誤.

先證明對數(shù)平均不等式.

先考慮不等式，設，

即證，即證，令，即證不等式.

構造函數(shù)，則，

所以，函數(shù)在上單調遞增，則，

當，且時，；

接下來考慮不等式，設，

即證，即證，設，即證不等式.

構造函數(shù)，則，

所以，函數(shù)在上單調遞增，則，

當，且時，有.

即當，且時，.

對于C選項，，.

①當時，對于任意恒成立，此時函數(shù)在上單調遞增，該函數(shù)最多有一個零點；

②當時，令，得.

當時，，當時，.

所以，函數(shù)在上單調遞減，在上單調遞增.

所以，函數(shù)在處取得極小值，

由于該函數(shù)有兩個零點，則，

即，解得，C選項錯誤；

對于A、B選項，由于函數(shù)有兩個零點、，且，

由于，則，，且有，

則，兩個等式兩邊取自然對數(shù)得，

兩式相減得，，

由對數(shù)平均不等式得，即，

，，A、B選項都正確；

對于D選項，由C選項可知，，

將中兩個等式相加得，

，即，D選項正確.

故選：C.