Question

【題目】設f（x）是定義在（﹣π，0）∪（0，π）的奇函數，其導函數為f'（x），且 ，當x∈（0，π）時，f'（x）sinx﹣f（x）cosx＜0，則關于x的不等式 的解集為（ ）
A.
B. ??
C.
D.

Answer 1

【答案】B
【解析】解：設g（x）= ， ∴g′（x）= ，
∵f（x）是定義在（﹣π，0）∪（0，π）上的奇函數，
故g（﹣x）= = =g（x）
∴g（x）是定義在（﹣π，0）∪（0，π）上的偶函數．
∵當0＜x＜π時，f′（x）sinx﹣f（x）cosx＜0
∴g'（x）＜0，
∴g（x）在（0，π）上單調遞減，
∴g（x）在（﹣π，0）上單調遞增．
∵f（ ）=0，
∴g（ ）= =0，
∵f（x）＜2f（ ）sinx，
即g（ ）sinx＞f（x）；
① 當sinx＞0時，即x∈（0，π），g（ ）＞ =g（x）；
所以x∈（ ，π）；
②當sinx＜0時，即x∈（﹣π，0）時，g（ ）=g（﹣ ）＜ =g（x）；
所以x∈（﹣ ，0）；
不等式f（x）＜2f（ ）sinx的解集為解集為（﹣ ，0）∪（ ，π）．
故選：B．
【考點精析】本題主要考查了利用導數研究函數的單調性的相關知識點，需要掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內，(1)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區(qū)間單調遞減才能正確解答此題．