精英家教網(wǎng)已知四棱錐P-ABCD的底面為直角梯形，AB∥DC，∠DAB=90°，PA⊥底面ABCD，且PA=AD=DC=
12
，AB=1，M是PB的中點．
（Ⅰ）證明：面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求AC與PB所成的角；
（Ⅲ）求面AMC與面BMC所成二面角的大�。�
分析：法一：（Ⅰ）證明面PAD⊥面PCD，只需證明面PCD內(nèi)的直線CD，垂直平面PAD內(nèi)的兩條相交直線AD、PD即可；
（Ⅱ）過點B作BE∥CA，且BE=CA，∠PBE是AC與PB所成的角，解直角三角形PEB求AC與PB所成的角；
（Ⅲ）作AN⊥CM，垂足為N，連接BN，說明∠ANB為所求二面角的平面角，在三角形AMC中，用余弦定理求面AMC與面BMC所成二面角的大�。�
法二：以A為坐標(biāo)原點AD長為單位長度，建立空間直角坐標(biāo)系，
（Ⅰ）求出
AP
，
DC
，計算
AP
•
DC
=0，推出AP⊥DC．，然后證明CD垂直平面PAD，即可證明面PAD⊥面PCD；
（Ⅱ）求出
AC
，
PB
，計算cos＜
AC
，
PB
＞=
AC
•
PB
|
AC
|•|
PB
|
．即可求得結(jié)果．
（Ⅲ）在MC上取一點N（x，y，z），則存在使
NC
=λ
MC
，說明∠ANB為所求二面角的平面角．求出
AN
，
BN
，計算
cos(
AN
，
BN
)=
AN
•
BN
|
AN
|•|
BN
|
即可取得結(jié)果．
解答：精英家教網(wǎng)法一：（Ⅰ）證明：∵PA⊥面ABCD，CD⊥AD，
∴由三垂線定理得：CD⊥PD．
因而，CD與面PAD內(nèi)兩條相交直線AD，PD都垂直，
∴CD⊥面PAD．
又CD?面PCD，
∴面PAD⊥面PCD．

（Ⅱ）解：過點B作BE∥CA，且BE=CA，
則∠PBE是AC與PB所成的角．
連接AE，可知AC=CB=BE=AE=
2
，又AB=2，
所以四邊形ACBE為正方形．由PA⊥面ABCD得∠PEB=90°
在Rt△PEB中BE=a2=3b2，PB=
5
，
∴cos∠PBE=
BE
PB
=
10
5
．
∴AC與PB所成的角為arccos
10
5
．

（Ⅲ）解：作AN⊥CM，垂足為N，連接BN．
在Rt△PAB中，AM=MB，又AC=CB，
∴△AMC≌△BMC，
∴BN⊥CM，故∠ANB為所求二面角的平面角
∵CB⊥AC，由三垂線定理，得CB⊥PC，
在Rt△PCB中，CM=MB，所以CM=AM．
在等腰三角形AMC中，AN•MC=
CM2-(
AC
2
)2•AC
，
∴AN=
3
2
×
2
5
2
=
6
5
．
∴AB=2，
∴cos∠ANB=
AN2+BN2-AB2
2×AN×BN
=-
2
3

故所求的二面角為arccos(-
2
3
)．

精英家教網(wǎng)法二：因為PA⊥PD，PA⊥AB，AD⊥AB，以A為坐標(biāo)原點AD長為單位長度，
如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則各點坐標(biāo)為
A（0，0，0）B（0，2，0），C（1，1，0），
D（1，0，0），P（0，0，1），M(0，1，
1
2
)
（Ⅰ）證明：因為
AP
=(0，0，1)，
DC
=(0，1，0)，
故
AP
•
DC
=0，所以AP⊥DC．
又由題設(shè)知AD⊥DC，且AP與AD是平面PAD內(nèi)的兩條相交直線，由此得DC⊥面PAD．
又DC在面PCD上，故面PAD⊥面PCD

（Ⅱ）解：因
AC
=(1，1，0)，
PB
=(0，2，-1)，
故|
AC
|=
2
，|
PB
|=
5
，
AC
•
PB
=2，
所以cos＜
AC
，
PB
＞=
AC
•
PB
|
AC
|•|
PB
|
=
10
5
.
由此得AC與PB所成的角為arccos
10
5
．
（Ⅲ）解：在MC上取一點N（x，y，z），
則存在使
NC
=λ
MC
，
NC
=(1-x，1-y，-z)，
MC
=(1，0，-
1
2
)，
∴x=1-λ，y=1，z=
1
2
λ．
要使AN⊥MC，只需
AN
•
MC
=0即x-
1
2
z=0，
解得λ=
4
5
．可知當(dāng)λ=
4
5
時，N點坐標(biāo)為(
1
5
，1，
2
5
)，能使
AN
•
MC
=0．
此時，
AN
=(
1
5
，1，
2
5
)，
BN
=(
1
5
，-1，
2
5
)，
有
BN
•
MC
=0由
AN
•
MC
=0，
BN
•
MC
=0得AN⊥MC，BN⊥MC．所以∠ANB為所求二面角的平面角．
∵|
AN
|=
30
5
，|
BN
|=
30
5
，
AN
•
BN
=-
4
5
，
∴cos(
AN
，
BN
)=
AN
•
BN
|
AN
|•|
BN
|
=-
2
3
．
故所求的二面角為arccos(-
2
3
)．
點評：本題考查平面與平面垂直，二面角的求法，異面直線所成的角，考查空間想象能力，邏輯思維能力，轉(zhuǎn)化思想，是中檔題．
練習(xí)冊系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e為PC的中點，F(xiàn)為AD的中點．
（Ⅰ）證明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）證明EF⊥平面PBC；
（III）點M是四邊形ABCD內(nèi)的一動點，PM與平面ABCD所成的角始終為45°，求動直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

精英家教網(wǎng)如圖，已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，AB=BC=2CD=2，PB=PC，側(cè)面PBC⊥底面ABCD，O是BC的中點．
（1）求證：PO⊥平面ABCD；
（2）求證：PA⊥BD
（3）若二面角D-PA-O的余弦值為
10
5
，求PB的長．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

已知四棱錐P-ABCD的底面是直角梯形，∠ABC=∠BCD=90°，E為BC中點，AE與BD交于O點，AB=BC=2CD=2，BD⊥PE．
（1）求證：平面PAE⊥平面ABCD； 
（2）若直線PA與平面ABCD所成角的正切值為
5
2
，PO=2，求四棱錐P-ABCD的體積．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：

如圖，已知四棱錐P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是直角梯形，∠DAB=∠ABC=90°，E是線段PC上一點，PC⊥平面BDE．
（Ⅰ）求證：BD⊥平面PAB．
（Ⅱ）若PA=4，AB=2，BC=1，求直線AC與平面PCD所成角的正弦值．

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如圖，已知四棱錐P--ABC的底面ABCD為正方形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=2，e為PC的中點，F(xiàn)為AD的中點．
（Ⅰ）證明EF∥平面PAB；
（Ⅱ）證明EF⊥平面PBC；
（III）點M是四邊形ABCD內(nèi)的一動點，PM與平面ABCD所成的角始終為45°，求動直線PM所形成的曲面與平面ABCD、平面PAB、平面PAD所圍成幾何體的體積．

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