Question

已知f（x）=

1+ 2 sin(2x+ π 4 )

cosx

．
（Ⅰ）求f（x）的定義域；
（Ⅱ）設(shè)α為第一象限角且tanα=

3

4

，求f（α）．

Answer 1

考點：三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用

專題：三角函數(shù)的求值

分析：（Ⅰ）由余弦函數(shù)的性質(zhì)知，cosx≠0，得x≠kπ+

π

2

，k∈Z．從而可得f（x）的定義域；
（Ⅱ）依題意，可求得sinα=

3

5

，cosα=

4

5

，sin2α=2sinαcosα=

24

25

，cos2α=2cos²α-1=

7

25

，從而可得f（α）=

1+sin2α+cos2α

cosα

的值．

解答： 解：（Ⅰ）由cosx≠0，得x≠kπ+

π

2

，k∈Z．
∴f（x）的定義域為{x|x≠kπ+

π

2

，k∈Z．}；
（Ⅱ）∵α為第一象限角且tanα=

3

4

，不妨設(shè)α終邊上一點P（4，3），
則|OP|=5，sinα=

3

5

，cosα=

4

5

，
∴sin2α=2sinαcosα=

24

25

，cos2α=2cos²α-1=

7

25

，
∴f（α）=

1+sin2α+cos2α

cosα

=

1+ 24 25 + 7 25

4 5

=

14

5

．

點評：本題考查三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，著重考查同角三角函數(shù)間的關(guān)系式及二倍角公式的應(yīng)用，考查三角函數(shù)的化簡與求值，屬于中檔題．