Question

【題目】某校高一200名學(xué)生的期中考試語文成績服從正態(tài)分布，數(shù)學(xué)成績的頻數(shù)分布直方圖如下：

（I）計算這次考試的數(shù)學(xué)平均分，并比較語文和數(shù)學(xué)哪科的平均分較高（假設(shè)數(shù)學(xué)成績在頻率分布直方圖中各段是均勻分布的）；

（II）如果成績大于85分的學(xué)生為優(yōu)秀，這200名學(xué)生中本次考試語文、數(shù)學(xué)優(yōu)秀的人數(shù)大約各多少人？

（III）如果語文和數(shù)學(xué)兩科都優(yōu)秀的共有4人，從（II）中的這些同學(xué)中隨機(jī)抽取3人，設(shè)三人中兩科都優(yōu)秀的有人，求的分布列和數(shù)學(xué)期望．

（附參考公式）若，則，

Answer 1

【答案】（I）語文平均分高些；（II）語文成績優(yōu)秀人數(shù)為人，數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀人數(shù)為人；（III）答案見解析．

【解析】

試題（I）根據(jù)組中值與對應(yīng)區(qū)間概率的乘積和計算平均數(shù)，再比較大小，（II）先求優(yōu)秀的概率，再根據(jù)頻數(shù)等于總數(shù)與頻率的乘積得結(jié)果，（III）先確定隨機(jī)變量取法，再根據(jù)組合數(shù)計算對應(yīng)概率，列表可得分布列，最后根據(jù)數(shù)學(xué)期望公式求期望．

試題解析：（I）數(shù)學(xué)成績的平均分為

根據(jù)語文成績的正態(tài)分布知語文平均分為70分，所以語文平均分高些．

（II）語文成績優(yōu)秀的概率為，

數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀的概率為，

語文成績優(yōu)秀人數(shù)為人，數(shù)學(xué)成績優(yōu)秀人數(shù)為人

（III）語文數(shù)學(xué)兩科都優(yōu)秀的4人，單科優(yōu)秀的有6人，所有可能的取值為0，1，2，3，

，

，

的分布列為

數(shù)學(xué)期望．