Question

【題目】已知f（x）=lnx﹣ax+1，其中a為常實數(shù)．
（1）討論函數(shù)f（x）的單調(diào)性；
（2）當a=1時，求證：f（x）≤0；
（3）當n≥2，且n∈N*時，求證： ＜2．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）的定義域是（0，+∞），

f′（x）= ﹣a，

a≤0時，f′（x）＞0，f（x）在（0，+∞）遞增，

a＞0時，令f′（x）=0，解得：x= ，

故f（x）在（0， ）遞增，在（ ，+∞）遞減

（2）解：a=1時，由（1）f（x）在（0，1）遞增，在（1，+∞）遞減，

故f（x）max=f（1）=0，故f（x）≤0

（3）解：由（2）得：n≥2且n∈N*時，lnn＜n﹣1，

于是 + + +…+ ＜ + + +…+ ，

令S= + + +…+ ①，

則 S= + +…+ + ②，

錯位相減得：S=2﹣ ，則S＜2，

故 ＜ + + +…+ ＜2

【解析】（1）求出函數(shù)的導數(shù)，解關于導函數(shù)的不等式，求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間即可；（2）根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性求出f（x）的最大值，從而證明結論；（3）根據(jù)lnn＜n﹣1通過賦值，得到S= + + +…+ ，求出 S，錯位相減證明結論即可．
【考點精析】通過靈活運用利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，掌握一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減即可以解答此題．