Question

已知函數(shù)f（x）=lg

1-x

1+x

．
（1）判斷函數(shù)f（x）的奇偶性并加以證明；
（2）若a，b∈（-1，1），求證：f（a）+f（b）=f（

a+b

1+ab

）．

Answer 1

考點(diǎn)：對(duì)數(shù)函數(shù)圖象與性質(zhì)的綜合應(yīng)用

專題：綜合題,函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）確定函數(shù)的定義域，利用奇函數(shù)的定義進(jìn)行證明；
（2）利用a，b∈（-1，1），f（x）=lg

1-x

1+x

，結(jié)合對(duì)數(shù)的運(yùn)算，即可證明結(jié)論．

解答： （1）解：由

1-x

1+x

＞0，可得函數(shù)的定義域?yàn)椋?1，1）．
∵f（x）=lg

1-x

1+x

，
∴f（x）+f（-x）=lg

1-x

1+x

+lg

1+x

1-x

=lg1=0，
∴函數(shù)f（x）是奇函數(shù)；
（2）證明：∵a，b∈（-1，1），f（x）=lg

1-x

1+x

，
∴f（

a+b

1+ab

）=lg

1- a+b 1+ab

1+ a+b 1+ab

=lg

(1-a)(1-b)

(1+a)(1+b)

=lg

1-a

1+a

+lg

1-b

1+b

=f（a）+f（b）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)的奇偶性，考查對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．