Question

已知二次函數(shù)f（x）=ax²+bx滿足條件：①對任意x∈R，均有f（x-4）=f（2-x）②函數(shù)f（x）的圖象與y=x相切．
（1）求f（x）的解析式；
（2）設(shè)g（x）=2f（x）-18x+q+3，若存在常數(shù)t （t≥0），當(dāng)x∈[t，10]時(shí)，g（x）的值域?yàn)閰^(qū)間D，且D的長度為12-t，請求出t的值．（注：[a，b]的區(qū)間長度為b-a）

Answer 1

分析：（1）根據(jù)對任意x∈R，均有f（x-4）=f（2-x），分別代入解析式，即可得到關(guān)于a和b的一個(gè)方程，又函數(shù)f（x）的圖象與y=x相切，可以得到方程ax²+bx=x有且只有一個(gè)解，從而列出關(guān)于a和b的方程，求解即可得到f（x）的解析式；
（2）求出g（x）的解析式為g（x）=x²-16x+q+3，根據(jù)0≤t＜10，f（x）在區(qū)間[0，8]上是減函數(shù)，在區(qū)間[8，10]上是增函數(shù)，且其圖象的對稱軸是x=8．故可分類討論：①當(dāng)0≤t≤6時(shí)，在區(qū)間[t，10]上，f（t）最大，f（8）最��；②當(dāng)6＜t≤8時(shí)，在區(qū)間[t，10]上，f（10）最大，f（8）最��；③當(dāng)8＜t＜10時(shí)，在區(qū)間[t，10]上，f（10）最大，f（t）最小，故可求常數(shù)t的值．

解答：解：（1）∵二次函數(shù)f（x）=ax²+bx滿足條件①對任意x∈R，均有f（x-4）=f（2-x），
∴a（x-4）²+b（x-4）=a（2-x）²+b（2-x），
∴（2x-6）（-2a+b）=0，
∴b=2a  
又函數(shù)f（x）的圖象與y=x相切，
∴方程ax²+bx=x有且只有一個(gè)解，且b=2a，
∴ax²+（2a-1）x=0的兩根相等，
∴△=（2a-1）²-4a×0=0，即（2a-1）²=0，
a=

1

2

，b=1，
∴f（x）=

1

2

x²+x；
（2）由（1）知，f（x）=

1

2

x²+x，且g（x）=2f（x）-18x+q+3，
∴g（x）=x²-16x+q+3，
∴g（x）圖象的對稱軸為x=8，
又∵x∈[t，10]，且t≥0，
∴g（x）在區(qū)間[0，8]上是減函數(shù)，在區(qū)間[8，10]上是增函數(shù)，
①當(dāng)0≤t≤6時(shí)，g（x）在區(qū)間[t，8]上單調(diào)遞減，在[8，10]上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=t時(shí)，g（x）取得最大值g（t），
當(dāng)x=8時(shí)，g（x）取得最小值g（8），
∵g（x）的值域?yàn)閰^(qū)間D，且D的長度為12-t，
∴g（t）-g（8）=12-t，即t²-15t+52=0，
∴t=

15± 17

2

，
又t＞0時(shí)，
∴t=

15+ 17

2

；
②當(dāng)6＜t≤8時(shí)，g（x）在區(qū)間[t，8]上單調(diào)遞減，在[8，10]上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=10時(shí)，g（x）取得最大值g（10），
當(dāng)x=8時(shí)，g（x）取得最小值g（8），
∵g（x）的值域?yàn)閰^(qū)間D，且D的長度為12-t，
∴g（10）-g（8）=12-t，即4=12-t，
∴t=8；
③當(dāng)8＜t＜10時(shí)，g（x）在區(qū)間[t，10]上單調(diào)遞增，
∴當(dāng)x=10時(shí)，g（x）取得最大值g（10），
當(dāng)x=t時(shí)，g（x）取得最小值g（t），
∵g（x）的值域?yàn)閰^(qū)間D，且D的長度為12-t，
∴g（10）-g（t）=12-t，即t²-17t+72=0，
∴t=8或t=9，
又∵8＜t＜10，
∴t=9．
綜合①②③可得，存在常數(shù)t=

15+ 17

2

或t=8或t=9，使得當(dāng)x∈[t，10]時(shí)，g（x）的值域?yàn)閰^(qū)間D，且D的長度為12-t．

點(diǎn)評：本題考查了函數(shù)解析式的求解及常用方法，二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值問題．求函數(shù)解析式常見的方法有：待定系數(shù)法，換元法，湊配法，消元法等．本題運(yùn)用了待定系數(shù)法求函數(shù)的解析式．有關(guān)二次函數(shù)的性質(zhì)，要注意數(shù)形結(jié)合的應(yīng)用，注意抓住二次函數(shù)的開口方向，對稱軸，以及判別式的考慮．屬于中檔題．