Question

17．如圖，在四棱錐P-ABCD中，底面ABCD為直角梯形，∠ABC=∠BAD=90°，且PA=AB=BC=$\frac{1}{2}$AD=1，PA⊥平面ABCD．
（1）求PB與平面PCD所成角的正弦值；
（2）棱PD上是否存在一點(diǎn)E滿足∠AEC=90°？若存在，求AE的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析 （1）以A為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求出$\overrightarrow{PB}$，平面PCD的法向量，即可求PB與平面PCD所成角的正弦值；
（2）假設(shè)存在E符合條件，設(shè)$\overrightarrow{PE}=λ\overrightarrow{PD}（0≤λ≤1）$，則由∠AEC=90°得，$\overrightarrow{AE}•$$\overrightarrow{CE}=2λ（2λ-1）+（1-λ{(lán)）^2}=0$，列出方程，判定方程在[0，1]上是否有解即可得出結(jié)論．

解答 解：（1）依題意，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，分別以AB，AD，AP
為x，y，z軸建立空間直角坐標(biāo)系O-xyz，則P（0，0，1），
B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0），
從而$\overrightarrow{PB}=（1，0，-1）$，$\overrightarrow{PC}=（1，1，-1）$，$\overrightarrow{PD}=（0，2，-1）$，
設(shè)平面PCD的法向量為$\overrightarrow{n}$=（a，b，c），即$\left\{\begin{array}{l}{a+b-c=0}\\{2b-c=0}\end{array}\right.$，
不妨取c=2，則b=1，a=1，
所以平面PCD的一個(gè)法向量為$\overrightarrow{n}$=（1，1，2），（4分）
此時(shí)cos＜$\overrightarrow{PB}$，$\overrightarrow{n}$＞=$\frac{1-2}{\sqrt{2}×\sqrt{6}}$=-$\frac{\sqrt{3}}{6}$，
所以PB與平面PCD所成角的正弦值為$\frac{{\sqrt{3}}}{6}$；（6分）
（2）設(shè)$\overrightarrow{PE}=λ\overrightarrow{PD}（0≤λ≤1）$，則E（0，2λ，1-λ），
則$\overrightarrow{CE}=（-1，2λ-1，1-λ）$，$\overrightarrow{AE}=（0，2λ，1-λ）$，
由∠AEC=90°得，$\overrightarrow{AE}•$$\overrightarrow{CE}=2λ（2λ-1）+（1-λ{(lán)）^2}=0$，
化簡(jiǎn)得，5λ²-4λ+1=0，該方程無(wú)解，
所以，棱PD上不存在一點(diǎn)E滿足∠AEC=90°．（10分）

點(diǎn)評(píng) 本題考查了空間向量的應(yīng)用，線面角的計(jì)算，屬于中檔題．