Question

【題目】定義：若對定義域內(nèi)任意x，都有（a為正常數(shù)），則稱函數(shù)為“a距”增函數(shù)．

（1）若，(0，)，試判斷是否為“1距”增函數(shù)，并說明理由；

（2）若，R是“a距”增函數(shù)，求a的取值范圍；

（3）若，(﹣1，)，其中kR，且為“2距”增函數(shù)，求的最小值．

Answer 1

【答案】（1）見解析； （2）； （3）.

【解析】

（1）利用“1距”增函數(shù)的定義證明即可；（2）由“a距”增函數(shù)的定義得到在上恒成立，求出a的取值范圍即可；（3）由為“2距”增函數(shù)可得到在恒成立，從而得到恒成立，分類討論可得到的取值范圍，再由，可討論出的最小值。

（1）任意,,

因?yàn)?/span>,, 所以，所以，即是“1距”增函數(shù)。

（2）.

因?yàn)?/span>是“距”增函數(shù)，所以恒成立，

因?yàn)?/span>,所以在上恒成立，

所以，解得，因?yàn)?/span>,所以.

（3）因?yàn)?/span>，，且為“2距”增函數(shù)，

所以時(shí)，恒成立，

即時(shí)，恒成立，

所以，

當(dāng)時(shí)，，即恒成立，

所以, 得;

當(dāng)時(shí)，，

得恒成立，

所以,得,

綜上所述，得.

又，

因?yàn)?/span>,所以，

當(dāng)時(shí)，若，取最小值為；

當(dāng)時(shí)，若，取最小值.

因?yàn)?/span>在R上是單調(diào)遞增函數(shù)，

所以當(dāng)，的最小值為；當(dāng)時(shí)的最小值為，

即 .