Question

8．已知過原點O的動直線l與圓C：（x+1）²+y²=4交于A、B兩點．
（Ⅰ）若|AB|=$\sqrt{15}$，求直線l的方程；
（Ⅱ）x軸上是否存在定點M（x₀，0），使得當l變動時，總有直線MA、MB的斜率之和為0？若存在，求出x₀的值；若不存在，說明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）先求出圓心C（-1，0）到直線l的距離為$\frac{1}{2}$，利用點到直線距離公式能求出直線l的方程．
（Ⅱ）設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂．設l的方程為y=kx，代入圓C的方程得（k²+1）x²+2x-3=0，由此利用韋達定理，結果已知條件能求出存在定點M（3，0），使得當l變動時，總有直線MA、MB的斜率之和為0．

解答 解：（Ⅰ）設圓心C（-1，0）到直線l的距離為d，
則d=$\sqrt{|CA{|}^{2}-（\frac{|AB|}{2}）^{2}}$=$\sqrt{4-\frac{15}{4}}$=$\frac{1}{2}$，…（2分）
當l的斜率不存在時，d=1，不合題意
當l的斜率存在時，設l的方程為y=kx，
由點到直線距離公式得$\frac{|k|}{\sqrt{{k}^{2}+1}}$=$\frac{1}{2}$，
解得k=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$，故直線l的方程為y=$±\frac{\sqrt{3}}{3}x$．…（5分）
（Ⅱ）存在定點M，且x₀=3，證明如下：
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直線MA、MB的斜率分別為k₁，k₂．
當l的斜率不存在時，由對稱性可得∠AMC=∠BMC，k₁+k₂=0，符合題意
當l的斜率存在時，設l的方程為y=kx，代入圓C的方程
整理得（k²+1）x²+2x-3=0，
∴${x}_{1}+{x}_{2}=-\frac{2}{{k}^{2}+1}$，${x}_{1}{x}_{2}=-\frac{3}{{k}^{2}+1}$．…（8分）
∴${k}_{1}+{k}_{2}=\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-{x}_{0}}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-{x}_{0}}$=$\frac{2k{x}_{1}{x}_{2}-k{x}_{0}（{x}_{1}+{x}_{2}）}{（{x}_{1}-{x}_{0}）（{x}_{2}-{x}_{0}）}$
=$\frac{（2{x}_{0}-6）k}{（{x}_{1}-{x}_{0}）（{x}_{2}-{x}_{0}）（{k}^{2}+1）}$．
當2x₀-6=0，即x₀=3時，有k₁+k₂=0，
所以存在定點M（3，0）符合題意，x₀=3．…（12分）

點評 本題考查直線方程的求法，考查滿足條件的定點是否存在的判斷與求法，是中檔題，解題時要認真審題，注意圓的性質、點到直線的距離公式的合理運用．