Question

設(shè)函數(shù)(其中).
（1） 當(dāng)時(shí),求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間;
（2） 當(dāng)時(shí),求函數(shù)在上的最大值.

Answer 1

（1） 函數(shù)的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為,；
（2）

試題分析：（1）由，利用導(dǎo)數(shù)的符號(hào)判斷函數(shù)的單調(diào)性和求單調(diào)區(qū)間；
（2）
試題解析：
解：（1）當(dāng)時(shí),
, 
令,得, 
當(dāng)變化時(shí),的變化如下表:

	單調(diào)遞增	極大值	單調(diào)遞減	極小值	單調(diào)遞增

 
右表可知,函數(shù)的遞減區(qū)間為,遞增區(qū)間為,.
（2） ,令,得,, 令,則,所以在上遞增, 所以,從而,所以 
所以當(dāng)時(shí),;當(dāng)時(shí),；
所以
令，則，令，則
在上遞減，而
所以存在使得，且當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，
所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.
因?yàn)?img src="http://thumb.zyjl.cn/pic2/upload/papers/20140824/201408240551399361441.png" style="vertical-align:middle;" />，所以在上恒成立，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取得“=”.綜上，函數(shù)在上的最大值.