Question

8．已知數(shù)列{a_n}是公差不為零的等差數(shù)列a₁=1，且a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，{b_n}為等比數(shù)列，數(shù)列{b_n}的前n項(xiàng)和為S_n，${S_3}=\frac{13}{3}$，q=3．
（1）求數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式；
（2）設(shè)c_n=a_n•b_n，求數(shù)列{c_n}的前項(xiàng)和T_n．

Answer 1

分析 （1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），由a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列列式求得d，則等差數(shù)列的通項(xiàng)公式可求；設(shè)數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)為b₁，由${S_3}=\frac{13}{3}$，q=3，可得關(guān)于b₁的方程，求得b₁，則等比數(shù)列的通項(xiàng)公式可求；
（2）把數(shù)列{a_n}，{b_n}的通項(xiàng)公式代入c_n=a_n•b_n，利用錯(cuò)誤相減法求數(shù)列{c_n}的前項(xiàng)和T_n．

解答 解：（1）設(shè)數(shù)列{a_n}的公差為d（d≠0），
由a₁，a₂，a₅成等比數(shù)列，得（1+d）²=1×（1+4d），
即d²=2d，解得d=2．
∴a_n=1+2（n-1）=2n-1．
設(shè)數(shù)列{b_n}的首項(xiàng)為b₁，由${S_3}=\frac{13}{3}$，q=3，
得$_{1}+3_{1}+9_{1}=13_{1}=\frac{13}{3}$，∴b₁=3．
則$_{n}={3}^{n}$；
（2）c_n=a_n•b_n=（2n-1）•3ⁿ，
∴${T}_{n}=1•{3}^{1}+3•{3}^{2}+…+（2n-3）•{3}^{n-1}+（2n-1）•{3}^{n}$，
則$3{T}_{n}=1•{3}^{2}+3•{3}^{3}+…+（2n-3）•{3}^{n}+（2n-1）•{3}^{n+1}$，
兩式作差可得：$-2{T}_{n}=3+2（{3}^{2}+{3}^{3}+…+{3}^{n}）-（2n-1）•{3}^{n+1}$
=3+2$•\frac{9（1-{3}^{n-1}）}{1-3}-（2n-1）•{3}^{n+1}$，
則${T}_{n}=（n-1）•{3}^{n}+1$．

點(diǎn)評(píng) 本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的通項(xiàng)公式，訓(xùn)練了錯(cuò)位相減法求數(shù)列的前n項(xiàng)和，是中檔題．