Question

（2010•濰坊三模）已知函數(shù)f（x）=

a

2

x2+2x（a∈R），g（x）=lnx．
（1）若函數(shù)h（x）=g（x）-f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，求a的取值范圍；
（2）當(dāng)a=l時(shí)，證明：x=1是函數(shù)y=f'（x）-

g(x)

x

-2的唯一極值點(diǎn)．

Answer 1

分析：（1）先求函數(shù)h（x）的導(dǎo)函數(shù)h′（x），再將函數(shù)存在單調(diào)遞減區(qū)間問題轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)h′（x）＜0在（0，+∞）上有解問題，最后參變分離將此問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題即可得a的取值范圍
（2）先求出函數(shù)y=f'（x）-

g(x)

x

-2的解析式，即y=x-

lnx

x

，求其導(dǎo)函數(shù)y′，證明x=1是函數(shù)y′=

x2+lnx-1

x2

的零點(diǎn)，再由單調(diào)性證明y′=0有唯一根x=1，最后由函數(shù)y=f'（x）-

g(x)

x

-2的單調(diào)性，證明x=1是函數(shù)y=f'（x）-

g(x)

x

-2的極值點(diǎn)，從而證明x=1是函數(shù)y=f'（x）-

g(x)

x

-2的唯一極值點(diǎn)

解答：解：（1）h（x）=lnx-

a

2

x2-2x  （x＞0），則h′（x）=

1

x

-ax-2
若函數(shù)h（x）=g（x）-f（x）存在單調(diào)遞減區(qū)間，則h′（x）=

1

x

-ax-2＜0在（0，+∞）上有解
而當(dāng)x＞0時(shí)，

1

x

-ax-2＜0?ax＞

1

x

-2?a＞

1

x2

-

2

x

問題轉(zhuǎn)化為a＞

1

x2

-

2

x

在（0，+∞）上有解
∵

1

x2

-

2

x

=(

1

x

-1)2-1≥-1，即

1

x2

-

2

x

在（0，+∞）上的值域?yàn)閇-1，+∞）
∴a＞-1
（2）當(dāng)a=1時(shí)，f（x）=

1

2

x²+2x，∴y=x-

lnx

x

，
函數(shù)y′=1-

1-lnx

x2

=

x2+lnx-1

x2

∵x=1時(shí)，y′=0，∴x=1是函數(shù)y′的零點(diǎn)
令M（x）=x²+lnx-1，則x=1是M（x）=0的根
下面證明M（x）=0無其它根
M′（x）=2x+

1

x

，當(dāng)x＞0時(shí)，M′（x）＞0，即y=M（x）在（0，+∞）上是單調(diào)增函數(shù)
∴M（x）=0有唯一根x=1
下面證明x=1是函數(shù)y=f'（x）-

g(x)

x

-2的極值點(diǎn)
當(dāng)x∈（0，1）時(shí)，y′=

M(x)

x2

＜0，
∴y=f'（x）-

g(x)

x

-2在（0，1）上是減函數(shù)
x∈（1，+∞）時(shí)，y′=

M(x)

x2

＞0，
∴y=f'（x）-

g(x)

x

-2在（0，1）上是增函數(shù)
∴x=1是函數(shù)y=f'（x）-

g(x)

x

-2的極值點(diǎn)．
綜上所述，x=1是函數(shù)y=f'（x）-

g(x)

x

-2的唯一極值點(diǎn)

點(diǎn)評：本題考查了導(dǎo)數(shù)在函數(shù)單調(diào)性和極值問題中的應(yīng)用，將函數(shù)性質(zhì)與不等式的根的分布、零點(diǎn)存在性及唯一性互相轉(zhuǎn)化的能力，推理證明的能力