Question

已知函數(shù)f（x）=-x²+2x．
（1）證明：f（x）在[1，+∞）上是減函數(shù)；
（2）當(dāng)x∈[0，5]時(shí)，求f（x）的最大值和最小值．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最值,二次函數(shù)的性質(zhì)

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：（1）設(shè)1＜x₁＜x₂，求得f（x₁）-f（x₂）＞0，可得f（x）在[1，+∞）上是減函數(shù)．
（2）利用二次函數(shù)的性質(zhì)求得當(dāng)x∈[0，5]時(shí)，求f（x）的最大值和最小值．

解答： 解：（1）證明：∵函數(shù)f（x）=-x²+2x，設(shè)1＜x₁＜x₂，則f（x₁）-f（x₂）=2（x₁-x₂）+（x22-x12）=（x₁-x₂）[2-（x₁+x₂）]，
由題設(shè)可得（x₁-x₂）＜0，2-（x₁+x₂）＜0，∴（x₁-x₂）[2-（x₁+x₂）]＞0，即 f（x₁）＞f（x₂），
故f（x）在[1，+∞）上是減函數(shù)．
（2）x∈[0，5]時(shí)，f（x）=-（x-1）²+1，故當(dāng)x=1時(shí)，函數(shù)取得最大值為1；當(dāng)x=5時(shí)，函數(shù)取得最小值為-15．

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明函數(shù)的單調(diào)性，二次函數(shù)的性質(zhì)的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．