Question

已知△ABC中，∠A，∠B，∠C所對的邊分別為a，b，c，（1）a，b，c成等差；（2）a，b，c成等比；（3）a²，b²，c²成等差．上述三個條件中是“B∈（0，

π

3

]”的充分條件的有（　　）

• A、0個
• B、1個
• C、2個
• D、3個

Answer 1

考點：必要條件、充分條件與充要條件的判斷

專題：等差數(shù)列與等比數(shù)列,解三角形,簡易邏輯

分析：根據(jù)等比數(shù)列和等差數(shù)列的性質(zhì)以及充分條件和必要條件的定義分別進行判斷即可．

解答： 解：（1）若a，b，c成等差，則b=

a+c

2

，
∴cos B=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-( a+c 2 )2

2ac

=

3 4 (a2+c2)- 1 2 ac

2ac

≥

3 4 •2ac- 1 2 ac

2ac

=

1

2

，
當且僅當a=c時，“=”成立，又∵B∈（0，π），∴B∈（0，

π

3

]．
（2）若a，b，c成等比，則b=

ac

，
∴cos B=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2-( ac )2

2ac

≥

2ac-ac

2ac

=

1

2

，當且僅當a=c時，“=”成立，
又∵B∈（0，π），∴B∈（0，

π

3

]．
（3）若a²，b²，c²成等差，則b²=

a2+c2

2

，
∴cos B=

a2+c2-b2

2ac

=

a2+c2- a2+c2 2

2ac

=

1 2 (a2+c2)

2ac

≥

ac

2ac

=

1

2

，當且僅當a=c時，“=”成立，
又∵B∈（0，π），∴B∈（0，

π

3

]．
故正確的有三個．
故選：D．

點評：本題主要考查充分條件和必要條件的判斷，以及等差數(shù)列和等比數(shù)列的應(yīng)用，結(jié)合余弦定理是解決本題的關(guān)鍵．綜合性較強．