Question

（本小題滿分14分）在四棱錐P－ABCD中，∠ABC＝∠ACD＝90°，∠BAC＝∠CAD＝60°，PA⊥平面ABCD，E為PD的中點，PA＝2AB＝2．

（1）求證：PC⊥；

（2）求證：CE∥平面PAB；

（3）求三棱錐P－ACE的體積V．

Answer 1

解：（1）在Rt△ABC中，AB＝1，∠BAC＝60°，

∴BC＝，AC＝2．取中點，連AF, EF，

∵PA＝AC＝2，∴PC⊥．　　　　　 （1分）

∵PA⊥平面ABCD，平面ABCD，

∴PA⊥，又∠ACD＝90°，即，

∴，∴，

∴．                       (3分)

∴．                 (4分)

∴PC⊥．　  　　　　　　　　　 （5分）

（2）證法一：取AD中點M，連EM，CM．則

EM∥PA．∵EM 平面PAB，PA平面PAB，

∴EM∥平面PAB．               （7分）

在Rt△ACD中，∠CAD＝60°，AC＝AM＝2，

∴∠ACM＝60°．而∠BAC＝60°，∴MC∥AB．

∵MC 平面PAB，AB平面PAB，

∴MC∥平面PAB．                        （9分）

∵EM∩MC＝M，∴平面EMC∥平面PAB．

∵EC平面EMC，∴EC∥平面PAB．      （10分）

                                

證法二：延長DC、AB，設它們交于點N，連PN．

∵∠NAC＝∠DAC＝60°，AC⊥CD，∴C為ND的中點．                   （7分）

∵E為PD中點，∴EC∥PN．                                          （9分）

∵EC 平面PAB，PN平面PAB，∴EC∥平面PAB．                   （10分）

(3)由(1)知AC＝2，EF＝CD, 且EF⊥平面PAC．

在Rt△ACD中，AC＝2，∠CAD＝60°，∴CD＝2，得EF＝．        （12分）

則V＝．                                 (14分)