Question

已知數(shù)列{a_n}中，a₁=3，a_n+1+a_n=3bⁿ（b＞0），n∈N^*
（1）當b=1時，S₇=12；
（2）存在λ∈R，數(shù)列{a_n-λbⁿ}成等比數(shù)列；
（3）當b∈（1，+∞）時，數(shù)列{a_2n}時遞增數(shù)列；
（4）當b∈（0，1）時，數(shù)列{a_n}時遞增數(shù)列；
以上命題為真命題的是

 

．

Answer 1

考點：數(shù)列遞推式

專題：點列、遞歸數(shù)列與數(shù)學(xué)歸納法

分析：（1）當b=1時，得到a_n=a_n+2，即可得到S₇=12；
（2）利益構(gòu)造法構(gòu)造數(shù)列{a_n-λbⁿ}成等比數(shù)列，即可得到結(jié)論．；
（3）當b∈（1，+∞）時，利益作差法即可數(shù)列{a_2n}時遞增數(shù)列；
（4）當b∈（0，1）時，取特殊值，即可判斷數(shù)列{a_n}時遞增數(shù)列是錯誤的；

解答： 解：（1）當b=1時，a_n+1+a_n=3，則a_n+2+a_n+1=3，
即a_n+1+a_n=a_n+2+a_n+1，則a_n=a_n+2，
則a₁=a₃=a₅=a₇=3，a₂=a₄=a₆=0，
則S₇=12；故（1）正確．
（2）設(shè)a_n+1-λbⁿ⁺¹+（a_n-λbⁿ）=0，
則a_n+1+a_n=λbⁿ⁺¹+λbⁿ=（λb+λ）bⁿ，
∵a_n+1+a_n=3bⁿ（b＞0），
∴λb+λ=3，即λ=

3

b+1

存在λ=

3

b+1

，數(shù)列{a_n-λbⁿ}成等比數(shù)列，此時公比q=-1；故（2）正確；
（3）∵a_n+1+a_n=3bⁿ（b＞0），
∴a_n+2+a_n+1=3bⁿ⁺¹（b＞0），
兩式相減得a_n+2-a_n=3bⁿ⁺¹-3bⁿ，
則a_2n+2-a_2n=3b²ⁿ⁺¹-3b²ⁿ=3（b²ⁿ⁺¹-b²ⁿ），
當b∈（1，+∞）時，b²ⁿ⁺¹-b²ⁿ＞0，
即b²ⁿ⁺²-b²ⁿ＞0，即a²ⁿ⁺²＞a²ⁿ，則數(shù)列{a_2n}時遞增數(shù)列；故（3）正確．
（4）當b∈（0，1）時，不妨設(shè)b=

1

2

，
則由a_n+1+a_n=3bⁿ（b＞0），
得a₂+a₁=3×（

1

2

），
則a₂=-a₁+3×（

1

2

）=

3

2

-3=-

3

2

，
則a₂＜a₁，故數(shù)列{a_n}時遞增數(shù)列錯誤；故（4）錯誤．
故正確的命題是（1）（2）（3），
故答案為：（1）（2）（3）．

點評：本題主要考查遞推數(shù)列的判斷，根據(jù)數(shù)列的遞推關(guān)系進行合理的推導(dǎo)是解決本題的關(guān)鍵．考查學(xué)生的推導(dǎo)能力．