（2012•安慶二模）已知數(shù)列{an}的各項均為正數(shù)，其前n項和為Sn，且an=2
Sn
-1，n∈N*，數(shù)列b1，b2-b1，b3-b2…，bn-bn-1是首項為1，公比為
1
2
的等比數(shù)列．
（Ⅰ）求證：數(shù)列{an}是等差數(shù)列；
（Ⅱ）若cn=anbn，求數(shù)列{cn}的前n項和Tn．
分析：（Ⅰ）由an=2
Sn
-1，知Sn=
1
4
(an+1)2，由此能夠證明數(shù)列{an}是等差數(shù)列．并求出an．
（Ⅱ）bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)=2-
1
2n-1
，cn=(2n-1)(2-
1
2n-1
)=2(2n-1)-
2n-1
2n-1
，先求數(shù)列{
2n-1
2n-1
}的前n項和An．由此能求出數(shù)列{cn}的前n項和Tn．
解答：（本題滿分12分）
解（Ⅰ）∵an=2
Sn
-1，
∴Sn=
1
4
(an+1)2
當(dāng)n≥2，an=Sn-Sn-1=
1
4
(an+1)2-
1
4
(an-1+1)2
=
1
4
(an2+2an-an-12-2an-1)
即（an+an-1）（an-an-1-2）=0，∴an-an-1=2，又a1=1，
故數(shù)列{an}是等差數(shù)列．且an=2n-1．…（4分）
（Ⅱ）∵bn=b1+(b2-b1)+(b3-b2)+…+(bn-bn-1)=2-
1
2n-1
…（6分）
∴cn=(2n-1)(2-
1
2n-1
)=2(2n-1)-
2n-1
2n-1
…（7分）
先求數(shù)列{
2n-1
2n-1
}的前n項和An．
∵
A
 
n
=1+
3
2
+
5
22
+
7
23
+…+
2n-1
2n-1

1
2
An=
1
2
+
3
22
+
5
23
+…+
2n-3
2n-1
+
2n-1
2n
∴
1
2
An=1+
2
2
+
2
22
+
2
23
+…+
2
2n-1
-
2n-1
2n
，
1
2
An=3-
2n+3
2n
，
∴An=6-
2n+3
2n-1
，
∴Tn=2n2+
2n+3
2n-1
-6．…（12分）
點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列的證明，求數(shù)列的前n項和，解題時要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意迭代法和錯位相減法的合理運(yùn)用．
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-160x
-160x
．

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