Question

如圖所示，在四棱錐中，底面四邊形是菱形，,是邊長為2的等邊三角形，,.

（Ⅰ）求證：底面；

（Ⅱ）求直線與平面所成角的大小；

（Ⅲ）在線段上是否存在一點(diǎn)，使得∥平面？如果存在，求的值，如果不存在，請(qǐng)說明理由．

Answer 1

解：（Ⅰ）因?yàn)榈酌?sub>是菱形，,

所以為中點(diǎn).                            

又因?yàn)?sub>,

         所以,                        

         所以底面.                          

（Ⅱ）由底面是菱形可得,

又由（Ⅰ）可知.

     如圖，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系.

由是邊長為2的等邊三角形，，

可得.

     所以.   

     所以,.

     由已知可得        

     設(shè)平面的法向量為，則

     即

     令，則，所以.        

     因?yàn)?sub>，             

     所以直線與平面所成角的正弦值為，

     所以直線與平面所成角的大小為.     

（Ⅲ）設(shè)，則

. 

     若使∥平面，需且僅需且平面，

解得,                               

     所以在線段上存在一點(diǎn)，使得∥平面.

此時(shí)=.