Question

如圖，已知等邊△ABC的邊長(zhǎng)為2，D為AC的中點(diǎn)，且△ADE也是等邊三角形．在△ADE以點(diǎn)A為中心向下轉(zhuǎn)動(dòng)到穩(wěn)定位置的過(guò)程中，

BD

•

CE

的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：平面向量數(shù)量積的運(yùn)算

專題：計(jì)算題,平面向量及應(yīng)用

分析：設(shè)∠BAD=θ，（0≤θ≤

π

3

），則∠CAE=θ，則

BD

•

CE

=（

AD

-

AB

）•（

AE

-

AC

），將其展開(kāi)，運(yùn)用向量的數(shù)量積的定義，再由兩角和差的余弦公式，化簡(jiǎn)得到

5

2

-2cosθ，再由余弦函數(shù)的性質(zhì)，即可得到范圍．

解答： 解：設(shè)∠BAD=θ，（0≤θ≤

π

3

），
則∠CAE=θ，
則

BD

•

CE

=（

AD

-

AB

）•（

AE

-

AC

）
=

AD

•

AE

-

AD

•

AC

-

AB

•

AE

+

AB

•

AC

=1×1×cos

π

3

-1×2×cos（

π

3

-θ）-2×1×cos（

π

3

+θ）+2×2×cos

π

3

=

5

2

-2（

1

2

cosθ+

3

2

sinθ+

1

2

cosθ-

3

2

sinθ）=

5

2

-2cosθ，
由于0≤θ≤

π

3

，則

1

2

≤cosθ≤1，
則

1

2

≤

5

2

-2cosθ≤

3

2

．
故答案為：[

1

2

，

3

2

]．

點(diǎn)評(píng)：本題考查平面向量的數(shù)量積的定義，考查三角函數(shù)的化簡(jiǎn)和求最值，考查運(yùn)算能力，屬于中檔題．