Question

    如圖，在多面體ABCDE中，AE⊥面ABC，BD∥AE，且AC=AB=BC=BD=2，AE=1，F為CD中點(diǎn)．

    (1)求證：EF⊥面BCD；

    (2)求多面體ABCDE的體積；

    (3)求面CDE與面ABDE所成的二面角的余弦值．

 

Answer 1

答案：
解析：

答案：(1)證明：取BC中點(diǎn)G，連FG，AG．     ∵AE⊥面ABC，BD∥AE，∴BD⊥面ABC，     又AG面ABC，∴BD⊥AG，又AC=AB，G是BC中點(diǎn)，     ∴AG⊥BC，∴AG⊥平面BCD，∵F是CD的中點(diǎn)且BD=2，     ∴FG∥BD且，∴FG∥AE.     又AE=1，∴AE=FG，故四邊形AEFG是平行四邊形，從而EF∥AG，     ∴< span lang=EN-US style='font-fa mily:"Times New Roman"'>EF⊥面BCD．     (2)解：設(shè)AB中點(diǎn)為H，則由AC=AB=BC=2，可得CH⊥AB且，     又∵BD∥AE，∴BD與AE共面，又AE⊥面ABC，故平面ABDE⊥平面ABC，     ∴CH⊥平面ABDE，即CH為四棱錐C－ABDE的高． 故．     (3)解：過(guò)C作CK⊥DE于K，連接KH，由三垂線定理的逆定理得KH⊥DE，     ∴∠HKC為二面角C—DE—B的平面角.     易知，，， 由，     可得，在Rt△CHK中，     ，故.     ∴面CDE與面ABDE所成的二面角的余弦值為．