Question

1．已知動點M到點A（2，0）的距離是它到點B（8，0）的距離的一半．
（1）動點M的軌跡方程；
（2）求與點M的軌跡相切，且在x軸、y軸上的截距相等的直線方程．

Answer 1

分析 （1）設動點M（x，y）為軌跡上任意一點，則$\sqrt{{{（x-2）}^2}+{y^2}}=\frac{1}{2}\sqrt{{{（x-8）}^2}+{y^2}}$，即可求出動點M的軌跡方程；
（2）設所求直線方程為x+y=a，利用圓心到直線的距離，即可求出直線方程．

解答 解：（1）設動點M（x，y）為軌跡上任意一點，則$\sqrt{{{（x-2）}^2}+{y^2}}=\frac{1}{2}\sqrt{{{（x-8）}^2}+{y^2}}$，
得 x²+y²=16
動點M的軌跡方程為x²+y²=16．
（2）設所求直線方程為x+y=a，
則圓心到直線的距離$d=\frac{|a|}{{\sqrt{{1^2}+{1^2}}}}=4$
解得$a=±4\sqrt{2}$
故所求直線方程為$x+y±4\sqrt{2}=0$

點評 本題考查軌跡方程，考查直線與圓的位置關系，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．