Question

已知：sin²5°+sin²65°+sin²125°=

3

2

sin²15°+sin²75°+sin²135°=

3

2

sin²30°+sin²90°+sin²150°=

3

2

通過(guò)觀察上述等式的規(guī)律，請(qǐng)你寫(xiě)出一般性的命題，并給出證明．

Answer 1

分析：分析已知條件中：sin²30°+sin²90°+sin²150°=

3

2

，sin²5°+sin²65°+sin²125°=

3

2

．我們可以發(fā)現(xiàn)等式左邊參加累加的三個(gè)均為正弦的平方，且三個(gè)角組成一個(gè)以60°為公差的等差數(shù)列，右邊是常數(shù)，由此不難得到結(jié)論．

解答：解：由已知中sin²30°+sin²90°+sin²150°=

3

2

，
sin²5°+sin²65°+sin²125°=

3

2

．
歸納推理的一般性的命題為：
sin²（α-60°）+sin²α+sin²（α+60°）=

3

2

．
證明如下：
左邊=

1-cos(2α-120°)

2

+

1-cos2α

2

+

1-cos(2α+120°)

2

=

3

2

-

1

2

[cos（2α-120°）+cos2α+cos（2α+120°）]
=

3

2

=右邊．
∴結(jié)論正確．

點(diǎn)評(píng)：歸納推理的一般步驟是：（1）通過(guò)觀察個(gè)別情況發(fā)現(xiàn)某些相同性質(zhì)；（2）從已知的相同性質(zhì)中推出一個(gè)明確表達(dá)的一般性命題（猜想），（3）論證．