Question

6．古代數學家楊輝在沈括的隙積術的基礎上想到：若由大小相等的圓球垛成類似于正四棱臺的方垛，上底由a×a個球組成，以下各層的長、寬依次各增加過一個球，共有n層，最下層（即下底）由b×b個球組成，楊輝給出求方垛中圓球總數的公式如下：S=$\frac{n}{3}$（a²+b²+ab+$\frac{b-a}{2}$），根據以上材料，我們可得1²+2²+…+n²=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$．

Answer 1

分析 取a=1，b=n，代入公式S=$\frac{n}{3}$（a²+b²+ab+$\frac{b-a}{2}$），即可得出．

解答 解：取a=1，b=n，
則可得1²+2²+…+n²=$\frac{n}{3}$×$（1+{n}^{2}+n+\frac{n-1}{2}）$=$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$．
故答案為：$\frac{n（n+1）（2n+1）}{6}$．

點評 本題考查了楊輝求方垛中圓球總數的公式、數列求和，考查了推理能力與計算能力，屬于中檔題．