（2013•成都模擬）已知向量
.
m
=（
3
sin
x
4
，1），
.
n
=（cos
x
4
，cos2
x
4
），f（x）=
.
m
•
.
n
．
（1）若f（x）=1，求cos（x+
π
3
）的值；
（2）在△ABC中，角A，B，C的對(duì)邊分別是a，b，c且滿足acosC+
1
2
c=b，求函數(shù)f（B）的取值范圍．
分析：（1）由兩向量的坐標(biāo)，利用平面向量的數(shù)量積運(yùn)算法則列出f（x）的解析式，再利用二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式及兩角和與差的正弦函數(shù)公式化為一個(gè)角的正弦函數(shù)，由f（x）=1，得出sin（
x
2
+
π
6
）的值，最后將所求的式子中的角提取2，利用二倍角的余弦函數(shù)公式化簡(jiǎn)后，將sin（
x
2
+
π
6
）的值代入即可求出值；
（2）利用余弦定理表示出cosC，代入已知的等式，整理后代入利用余弦定理表示出的cosA中，得出cosA的值，由A為三角形的內(nèi)角，利用特殊角的三角函數(shù)值求出A的度數(shù)，進(jìn)而確定出B的范圍，得出
B
2
+
π
6
的范圍，利用正弦函數(shù)的圖象與性質(zhì)得出此時(shí)正弦函數(shù)的值域，即為f（B）的范圍．
解答：解：（1）∵
m
=（
3
sin
x
4
，1），
n
=（cos
x
4
，cos2
x
4
），
∴f（x）=
m
•
n
=
3
sin
x
4
cos
x
4
+cos2
x
4
=
3
2
sin
x
2
+
1
2
cos
x
2
+
1
2
=sin（
x
2
+
π
6
）+
1
2
，
又f（x）=1，
∴sin（
x
2
+
π
6
）=
1
2
，（4分）
∴cos（x+
π
3
）=cos2（
x
2
+
π
6
）=1-2sin2（
x
2
+
π
6
）=
1
2
；（6分）
（2）∵cosC=
a2+b2-c2
2ab
，acosC+
1
2
c=b，
∴a•
a2+b2-c2
2ab
+
1
2
c=b，即b2+c2-a2=bc，
∴cosA=
b2+c2-a2
2bc
=
1
2
，
又∵A∈（0，π），∴A=
π
3
，（10分）
又∵0＜B＜
2π
3
，
∴
π
6
＜
B
2
+
π
6
＜
π
2
，
∴f（B）∈（1，
3
2
）．（12分）
點(diǎn)評(píng)：此題考查了余弦定理，平面向量的數(shù)量積運(yùn)算，二倍角的正弦、余弦函數(shù)公式，兩角和與差的正弦函數(shù)公式，以及正弦函數(shù)的定義域與值域，熟練掌握定理及公式是解本題的關(guān)鍵．
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①③④
①③④
（填上所有正確的序號(hào)）
①f（x）=x2（x≥0）；②f（x）=ex（x∈R）；③f（x）=
4x
x2+1
(x≥0)；④f（x）=loga(ax-
1
8
)(a＞0，a≠1)．

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600
600
．

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0≤x≤3
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-4或2
-4或2
．

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