Question

圓錐曲線C的離心率為e，且經(jīng)過點M（3，0），求e分別取

2 2

3

、

2

時曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程．

Answer 1

分析：依題意，分別設(shè)出e=

2 2

3

與e=

2

時的曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程，領(lǐng)用曲線C經(jīng)過點M（3，0），即可求得答案．

解答：解：∵曲線C的離心率e=

2 2

3

∈（0，1），
∴曲線C為橢圓，設(shè)其方程為：

x2

a2

+

y2

b2

=1，
∵曲線C經(jīng)過點M（3，0），
∴a=3，
∴c=2

2

，
∴b=1，
∴曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

9

+y²=1；
當(dāng)曲線C的離心率e=

2

時，曲線C為雙曲線，設(shè)其方程為：

x2

a2

-

y2

b2

=1，
同理可求得a=3，c=3

2

，b=3．
∴曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為：

x2

9

-

y2

9

=1．
∴曲線C的離心率e分別取

2 2

3

、

2

時曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程分別為：

x2

9

+y²=1或

x2

9

-

y2

9

=1．

點評：本題考查雙曲線與橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，求得曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程中的a²，b²是關(guān)鍵，屬于中檔題．