Question

已知圓，

（Ⅰ）若過(guò)定點(diǎn)()的直線與圓相切，求直線的方程；

（Ⅱ）若過(guò)定點(diǎn)()且傾斜角為的直線與圓相交于兩點(diǎn)，求線段的中點(diǎn)的坐標(biāo)；

(Ⅲ) 問(wèn)是否存在斜率為的直線，使被圓截得的弦為,且以為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)？若存在，請(qǐng)寫出求直線的方程；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。

 

Answer 1

（Ⅰ），（Ⅱ）（Ⅲ）

【解析】

試題分析：（Ⅰ）求過(guò)定點(diǎn)直線方程，要注意斜率不存在情況是否滿足題意，本題可分類討論，也可從設(shè)法上考慮斜率不存在，即設(shè)直線的方程為：，再利用圓心到直線距離等于半徑即可求出直線方程，（Ⅱ）求圓中弦中點(diǎn)，一可利用幾何條件，即圓心與弦中點(diǎn)連線與直線垂直，從而弦中點(diǎn)就為直線：與連線的交點(diǎn)，二可利用韋達(dá)定理，根據(jù)中點(diǎn)坐標(biāo)公式求解，（Ⅲ）以為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，這一條件如何用，是解題的關(guān)鍵 一是利用向量垂直，二是利用圓系方程

試題解析：（Ⅰ）根據(jù)題意，設(shè)直線的方程為：

聯(lián)立直線與圓的方程并整理得： 2分

所以

從而，直線的方程為： 4分

（Ⅱ）根據(jù)題意，設(shè)直線的方程為：

代入圓方程得：，顯然， 6分

設(shè)則

所以點(diǎn)的坐標(biāo)為 8分

（Ⅲ）假設(shè)存在這樣的直線：

聯(lián)立圓的方程并整理得：

當(dāng) 9分

設(shè)則

所以 10分

因?yàn)橐?/span>為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)，所以

均滿足。

所以直線的方程為：。 13分

（Ⅲ）法二：可以設(shè)圓系方程

則圓心坐標(biāo)，圓心在直線上，且該圓過(guò)原點(diǎn)。易得b的值。

考點(diǎn)：直線與圓相切，弦中點(diǎn)，圓方程