Question

已知函數(shù).
(I)當時,求的單調(diào)區(qū)間
(Ⅱ)若不等式有解,求實數(shù)m的取值菹圍；
(Ⅲ)定義：對于函數(shù)和在其公共定義域內(nèi)的任意實數(shù)，稱的值為兩函數(shù)在處的差值。證明:當時,函數(shù)和在其公共定義域內(nèi)的所有差值都大干2。

Answer 1

(I) a=0時，f（x）在（0，+）上單調(diào)遞增；當a<0時，f（x）在上單調(diào)遞增；f（x）在上單調(diào)遞減.(Ⅱ) m<0.(Ⅲ)證明詳見解析.

解析試題分析：(I)首先求出原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，然后分類求出>0或<0的解集，最后根據(jù)導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)，得出結(jié)論即可.(Ⅱ)由已知可知有解，構(gòu)造函數(shù) ，求導(dǎo)，利用基本不等式判斷導(dǎo)數(shù)的符號，確定函數(shù) 的單調(diào)性，求出最大值即可.(Ⅲ) 首先確定公共定義域（0，+），，然后構(gòu)造函數(shù)和利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)求出它們的單調(diào)性，極值點和極值，即可確定最值，求得
.
試題解析：(I)f（x）的定義域是（0，+），.
1.當a=0時，>0，所以f（x）在（0，+）上單調(diào)遞增；
2.當a<0時，由=0，解得，則時，>0，所以f（x）在上單調(diào)遞增；時，<0，所以f（x）在上單調(diào)遞減.
綜上所述，a=0時，f（x）在（0，+）上單調(diào)遞增；當a<0時，f（x）在上單調(diào)遞增；f（x）在上單調(diào)遞減.
(Ⅱ) 由題意有解，即有解，
因此只需有解即可.
設(shè) ，則
因為，且時，.
所以<0，即<0，
故h（x）在單調(diào)遞減，
所以h（x）<h(0)=0,故m<0.
(Ⅲ)當a=0時，，f（x）與g（x）的公共定義域為，，
設(shè)，則，在上單調(diào)遞增，所以.
又設(shè)則
當時，，單調(diào)遞增；
當時，，單調(diào)遞減；
所以x=1為函數(shù)的極大值點，即，故.
即公共定義域內(nèi)任一點差值都大于2.
考點：1.函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；2.導(dǎo)數(shù)的性質(zhì)；3.不等式的證明.