Question

已知函數(shù)f（x）=Asin（ωx+ϕ），（其中x∈R，A＞0，ω＞0，|ϕ|＜

π

2

）的部分圖象如圖所示．
（1）求f（x）的解析式；
（2）當(dāng)x∈[

π

6

，

2π

3

]時(shí)，f（x）的最值及其對(duì)應(yīng)x的值；
（3）把函數(shù)y=f（x）圖象向左平移

π

3

個(gè)單位，得到函數(shù)y=g（x）圖象，請(qǐng)寫出g（x）表達(dá)式并求出g（x）圖象的對(duì)稱軸和對(duì)稱中心．

Answer 1

考點(diǎn)：由y=Asin（ωx+φ）的部分圖象確定其解析式,函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換

專題：三角函數(shù)的圖像與性質(zhì)

分析：（1）根據(jù)三角函數(shù)的圖象即可確定f（x）的解析式；
（2）根據(jù)三角函數(shù)的性質(zhì)即可求f（x）的最大值及f（x）取最大值時(shí)x的集合；
（3）根據(jù)三角函數(shù)的函數(shù)關(guān)系求出g（x），利用三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)即可得到結(jié)論．

解答： 解：（1）函數(shù)周期T=4×（

7π

12

-

π

3

）=π=

2π

ω

，
則ω=2，
由圖象可知A=3，
則f（x）=3sin（2x+φ），
當(dāng)x=

π

3

時(shí)，2×

π

3

+φ=

π

2

，
解得φ=-

π

6

，
則f（x）的解析式為f（x）=3sin（2x-

π

6

）；
（2）當(dāng)x∈[

π

6

，

2π

3

]時(shí)，當(dāng)2x-

π

6

∈[-

π

6

，

7π

6

]時(shí)
當(dāng)2x-

π

6

=

π

2

，即x=

π

3

時(shí)，sin（

π

4

x+

π

4

）=1，
此時(shí)函數(shù)f（x）的取得最大值3．
（3）把函數(shù)y=f（x）圖象向左平移

π

3

個(gè)單位，得到函數(shù)y=3sin[2（x+

π

3

）-

π

6

]=3sin（2x+

π

2

）=3cos2x；
即y=g（x）=3cos2x，
由2x=2kπ+

π

2

，解得x=kπ+

π

4

，即g（x）圖象的對(duì)稱中心為（kπ+

π

4

，0）．
由2x=2kπ，k∈Z，解得x=kπ，
即g（x）圖象的對(duì)稱軸為x=kπ，k∈Z

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查三角函數(shù)的解析式的求解以及三角函數(shù)性質(zhì)是綜合應(yīng)用，根據(jù)條件確定函數(shù)的解析式是解決本題的關(guān)鍵．