已知橢圓C的兩個焦點分別為

,且點

在橢圓C上,又

.
(1)求焦點F
2的軌跡

的方程;
(2)若直線

與曲線

交于M、N兩點,以MN為直徑的圓經(jīng)過原點,求實數(shù)b的取值范圍.
(1)

(2)

試題分析:(1)因為點

在橢圓上,由橢圓定義知


恰好符合雙曲線的定義.動點

在以

、

為焦點的雙曲線上;
(2)由(1)得曲線的方程

,設

,聯(lián)立方程組
消去

得方程

有兩個正根

.由韋達定理可建立

與

的關系
另外,由

將由韋達定理得到的關系式代入其中可得關于

關系式,再結合

即可求得

的取值范圍.
試題解析:(1)

故軌跡

為以

、

為焦點的雙曲線的右支
設其方程為:
故軌跡方程為

. (6分)
(2)由

方程

有兩個正根

.

設

,由條件知

.
而


即

整理得

,即

由(1)知

,即

顯然成立.
由(2)、(3)知

而

.


.
故

的取值范圍為

(12分)
練習冊系列答案
相關習題
科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知動圓

與圓

相切,且與圓

相內(nèi)切,記圓心

的軌跡為曲線

;設

為曲線

上的一個不在

軸上的動點,

為坐標原點,過點

作

的平行線交曲線

于

兩個不同的點.
(1)求曲線

的方程;
(2)試探究

和

的比值能否為一個常數(shù)?若能,求出這個常數(shù),若不能,請說明理由;
(3)記

的面積為

,

的面積為

,令

,求

的最大值.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓

的離心率為

,以原點為圓心、橢圓的短半軸長為半徑的圓與直線

相切.
(1)求橢圓

的方程;
(2)設

,過點

作與

軸不重合的直線

交橢圓于

、

兩點,連結

、

分別交直線

于

、

兩點.試問直線

、

的斜率之積是否為定值,若是,求出該定值;若不是,請說明理由.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
已知橢圓C:

(a>b>0)的離心率為

,且橢圓C上一點與兩個焦點F
1,F(xiàn)
2構成的三角形的周長為2

+2.
(1)求橢圓C的方程;
(2)過右焦點F
2作直線l 與橢圓C交于A,B兩點,設

,若

,求

的取值范圍.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:解答題
如圖,橢圓

經(jīng)過點

,其左、右頂點分別是

、

,左、右焦點分別是

、

,

(異于

、

)是橢圓上的動點,連接

交直線

于

、

兩點,若

成等比數(shù)列.

(1)求此橢圓的離心率;
(2)求證:以線段

為直徑的圓過點

.
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
橢圓C:

左右焦

,若橢圓C上恰有4個不同的點P,使得

為等腰三角形,則C的離心率的取值范圍是 _______
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
已知F
1、F
2是橢圓

=1的兩焦點,經(jīng)點F
2的直線交橢圓于點A、B,若|AB|=5,則|AF
1|+|BF
1|等于( 。
A.16 B.11 C.8 D.3
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:單選題
點P是以

為焦點的橢圓上的一點,過焦點

作

的外角平分線的垂線,垂足為M點,則點M的軌跡是( 。
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科目:高中數(shù)學
來源:不詳
題型:填空題
橢圓

的左焦點為

,直線

與橢圓相交于點

、

,當△FAB的周長最大時,

的面積是____________.
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