已知平面區(qū)域(含邊界,上半部分為半圓,下半部分為矩形)如圖,動(dòng)點(diǎn)A(x,y)在該平面區(qū)域內(nèi),已知A(-3,0),C(-1,-1).
(1)求x+y的最大值和最小值;
(2)求
yx-1
的取值范圍;
(3)求x2+y2-2x-2y+2的最大值和最小值.
分析:由圖象分析,(1)x+y可轉(zhuǎn)化為截距;(2)
y
x-1
表示斜率(3)x2+y2-2x-2y+2=(x-1)2+(y-1)2,表示可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)與定點(diǎn)N(1,1)距離的平方,結(jié)合圖形易得其最值.
解答:解:由題意結(jié)合圖象
(1)設(shè)x+y=b,故y=-x+b,字母b為斜率為-1的直線的截距,由圖可知:
當(dāng)直線(黑色)過點(diǎn)B(-3,-1)時(shí),截距最小,即x+y取最小值-3+(-1)=-4,
當(dāng)直線與半圓相切時(shí),截距最大,即x+y取最大值,
由直線和圓相切可得圓心O′(-2,0)到直線x+y=b的距離
|-2-b|
2
=1,(圓的半徑為1),
可解得b=-2+
2
,或b=-2-
2
(由圖象可知不和題意,故舍去),
故求x+y的最大值和最小值分別為-2+
2
,-4;
(2)設(shè)k=
y
x-1
,則k表示可行域內(nèi)動(dòng)點(diǎn)P(x,y)與定點(diǎn)M(1,0)連線的斜率,…(5分)
由直線kx-y-k=0得,
|3k|
k2+1
=1
k=±
2
4
,知k≥-
2
4
,…(6分)
kMC=
1
2
,…(7分)
k∈[-
2
4
1
2
]
;                   …(8分)
(3)設(shè)t=x2+y2-2x-2y+2=(x-1)2+(y-1)2,表示可行域內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)P(x,y)與定點(diǎn)N(1,1)距離的平方,
由距離公式可得|NO|=
(1+2)2+(1-0)2
=
10
,故tmin=(
10
-1)2
=11-2
10
,
由圖可知點(diǎn)B到N的距離最大,|NB|=
(1+3)2+(1+1)2
=
20
,故tmax=20          …(12分)
點(diǎn)評(píng):本題考查線性規(guī)劃問題,利用幾何意義來求解是解決問題的關(guān)鍵,屬中檔題.
練習(xí)冊(cè)系列答案
相關(guān)習(xí)題

科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知橢圓C:
y2
a2
+
x2
b2
=1(a>b>0)
的離心率為
6
3
,過右頂點(diǎn)A的直線l與橢圓C相交于A,B兩點(diǎn),且B(-1,-3).
(Ⅰ)求橢圓C和直線l的方程;
(Ⅱ)記曲線C在直線l下方的部分與線段AB所圍成的平面區(qū)域(含邊界)為D.若曲線x2-2mx+y2+4y+m2-4=0與D有公共點(diǎn),試求實(shí)數(shù)m的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

已知曲線C:y=x2與直線l:x-y+2=0交于兩點(diǎn)A(xA,yA)和B(xB,yB),且xA<xB.記曲線C在點(diǎn)A和點(diǎn)B之間那一段L與線段AB所圍成的平面區(qū)域(含邊界)為D.設(shè)點(diǎn)P(s,t)是L上的任一點(diǎn),且點(diǎn)P與點(diǎn)A和點(diǎn)B均不重合.
(1)若點(diǎn)Q是線段AB的中點(diǎn),試求線段PQ的中點(diǎn)M的軌跡方程;
(2)若曲線G:x2-2ax+y2-4y+a2+
5125
=0與D有公共點(diǎn),試求a的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

(2012•崇明縣一模)如圖,已知橢圓C:
x2
a2
-
y2
b2
=1
(a>0,b>0)過點(diǎn)P(
2
,
6
),上、下焦點(diǎn)分別為F1、F2,向量
PF1
PF2
.直線l與橢圓交于A,B兩點(diǎn),線段AB中點(diǎn)為m(
1
2
,-
3
2
).
(1)求橢圓C的方程;
(2)求直線l的方程;
(3)記橢圓在直線l下方的部分與線段AB所圍成的平面區(qū)域(含邊界)為D,若曲線x2-2mx+y2+4y+m2-4=0與區(qū)域D有公共點(diǎn),試求m的最小值.

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科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:解答題

已知平面區(qū)域(含邊界,上半部分為半圓,下半部分為矩形)如圖,動(dòng)點(diǎn)A(x,y)在該平面區(qū)域內(nèi),已知A(-3,0),C(-1,-1).
(1)求x+y的最大值和最小值;
(2)求數(shù)學(xué)公式的取值范圍;
(3)求x2+y2-2x-2y+2的最大值和最小值.

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