Question

某校興趣小組運用計算機對輪船由海上行駛進入內(nèi)陸港灣進行了一次模擬試驗.如圖,內(nèi)陸港灣的入口處有暗礁,圖中陰影所示的區(qū)域為海岸和暗礁區(qū),其中線段AA₁,B₁B,CC₁,D₁D關于坐標軸或原點對稱,線段B₁B的方程為y=x,x∈［a,b］,過點O有一條航道.有一艘正在海面上航行的輪船準備進入內(nèi)陸港灣,在點M(a,0)處測得該輪船發(fā)出的汽笛聲的時刻比點N(a,0)處總晚1 s(設海面上聲速為a m/s),若該輪船照著當前的航線航行(不考慮輪船的體積),

(1)問興趣小組觀察到輪船當前的航線所在的曲線方程是什么?

(2)這艘輪船能否由海上安全駛?cè)雰?nèi)陸港灣?請說明理由.

Answer 1

解:(1)設輪船所在的位置為P,因為在點M(a,0)處測得該輪船發(fā)出的汽笛聲的時刻比點N(a,0)處總晚1 s,海面上聲速為a m/s,

所以|PM|-|PN|=a.

因為a＜|MN|,所以點P的軌跡是以M、N為焦點的雙曲線的右支.

設點P的軌跡方程為=1(m＞0,n＞0),

則m=a,n==a.

所以興趣小組觀察到輪船的航線所在的曲線方程為4x²-y²=a²(x＞0).6分

(2)這艘輪船能由海上安全駛?cè)雰?nèi)陸港灣,

設直線l的方程為y=y₀,則

①當0≤y₀＜a時,設l與雙曲線的右支,直線x=a分別交于點Q₁,S₁,則

Q₁(,y₀),S₁(a,y₀).

因為＜＜a,

所以點Q₁在點S₁的左側(cè).

所以輪船不可能進入暗礁區(qū).

②當y₀≥a時,設l與雙曲線右支、直線y=x分別交于點Q₂,S₂,則Q₂(,y₀),S₂(y₀,y₀).

因為(y₀²+a²)-y₀²=＜0,

所以y₀²+a²＜y₀.

所以點Q₁在點S₁的左側(cè),所以輪船不可能進入暗礁區(qū).