Question

【題目】已知拋物線(xiàn)過(guò)點(diǎn)，是拋物線(xiàn)上異于點(diǎn)的不同兩點(diǎn)，且以線(xiàn)段為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn).

（I）當(dāng)點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合時(shí)，求直線(xiàn)的方程；

（II）求證：直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn)，并求出這個(gè)定點(diǎn)的坐標(biāo).

Answer 1

【答案】（I）； （II）答案見(jiàn)解析.

【解析】

(Ⅰ)首先求得拋物線(xiàn)的方程，然后求得AO的斜率，最后利用直線(xiàn)垂直的充分必要條件可得直線(xiàn)的方程；

(Ⅱ)聯(lián)立直線(xiàn)方程與拋物線(xiàn)方程，結(jié)合韋達(dá)定理得到系數(shù)之間的關(guān)系，然后結(jié)合直線(xiàn)方程的形式即可證得直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn).

（I）因?yàn)?/span>在拋物線(xiàn)上，所以，

所以，拋物線(xiàn).

當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，易知，

因?yàn)橐跃�(xiàn)段為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)，所以.所以.

所以,即直線(xiàn)的方程為.

（II）顯然直線(xiàn)與軸不平行，設(shè)直線(xiàn)方程為 .

，消去得.

設(shè)，因?yàn)橹本�(xiàn)與拋物線(xiàn)交于兩點(diǎn)，

所以 ①

因?yàn)橐跃�(xiàn)段為直徑的圓恒過(guò)點(diǎn)，所以.

因?yàn)?/span>是拋物線(xiàn)上異于的不同兩點(diǎn),所以,.

,同理得.

所以,即,.

將 ①代入得， ，即 .

代入直線(xiàn)方程得.

所以直線(xiàn)恒過(guò)定點(diǎn) .