【題目】（本題滿分15分）如圖，在半徑為的半圓形（O為圓心）鐵皮上截取一塊矩形材料ABCD，其中點(diǎn)A、B在直徑上，點(diǎn)C、D在圓周上，將所截得的矩形鐵皮ABCD卷成一個(gè)以AD為母線的圓柱形罐子的側(cè)面（不計(jì)剪裁和拼接損耗），記圓柱形罐子的體積為．

（1）按下列要求建立函數(shù)關(guān)系式：

①設(shè)，將表示為的函數(shù)；

②設(shè)（），將表示為的函數(shù)；

（2）請(qǐng)您選用（1）問(wèn)中的一個(gè)函數(shù)關(guān)系，求圓柱形罐子的最大體積．

【答案】（1）①，（）

②，（）

（2）

【解析】

試題（1）要將實(shí)際問(wèn)題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問(wèn)題，根據(jù)題意構(gòu)建數(shù)學(xué)模型，利用直角三角形 求底面圓的半徑 ，進(jìn)而列出函數(shù)關(guān)系式（2）求體積的最大值轉(zhuǎn)化為求函數(shù)的最大值，先求導(dǎo)，再判斷單調(diào)性，再求最值。

試題解析：解：（1）①，，

，（） 4分

②，，

，（） 8分

（2）選用：，，

令 ，則 10分

列表得：

單調(diào)增

極大值

單調(diào)減

（不列表，利用導(dǎo)函數(shù)的符號(hào)，判斷出單調(diào)性同樣得分）

選用：令，

，

令 ，則 10分

列表得：

單調(diào)增

極大值

單調(diào)減

，即 15分

（對(duì)直接求導(dǎo)求解也得分，）

答：圓柱形罐子的最大體積為．

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相關(guān)習(xí)題

科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的離心率為，傾斜角為的直線經(jīng)過(guò)橢圓的右焦點(diǎn)且與圓相切.

(1)求橢圓 的方程；

(2)若直線與圓相切于點(diǎn)，且交橢圓于兩點(diǎn)，射線于橢圓交于點(diǎn)，設(shè)的面積于的面積分別為.

①求的最大值；

②當(dāng)取得最大值時(shí)，求的值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知橢圓的左焦點(diǎn)為，左頂點(diǎn)為，離心率為，點(diǎn) 滿足條件.

（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值；

（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與橢圓交于兩點(diǎn)，記和的面積分別為，證明： .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù)．

（1）當(dāng)=0時(shí)，求實(shí)數(shù)的m值及曲線在點(diǎn)（1， ）處的切線方程；

（2）討論函數(shù)的單調(diào)性．

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】自治區(qū)有甲、乙兩位航模運(yùn)動(dòng)員參加了國(guó)家隊(duì)集訓(xùn)，現(xiàn)分別從他們?cè)诩?xùn)期間參加的若干次預(yù)賽成績(jī)中隨機(jī)抽取8次，記錄如下：

甲：82 81 79 78 95 88 93 84 乙：92 95 80 75 83 80 90 85

（I）畫(huà)出甲、乙兩位學(xué)生成績(jī)的莖葉圖，指出學(xué)生乙成績(jī)中的位數(shù)；

（II）現(xiàn)要從中派一人參加國(guó)際比賽，從平均成績(jī)和方差的角度考慮，你認(rèn)為派哪位學(xué)生參加合適？請(qǐng)說(shuō)明理由.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】如圖，在四棱錐中，四邊形為正方形， 平面， ， 是上一點(diǎn)，且.

（1）求證： 平面；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知函數(shù).

（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；

（2） 若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)， ，且，證明： .

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】設(shè)橢圓的左右焦點(diǎn)分別為F1，F2，點(diǎn)P 在橢圓上運(yùn)動(dòng)， 的最大值為m， 的最小值為n，且m≥2n，則該橢圓的離心率的取值范圍為________

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科目：高中數(shù)學(xué) 來(lái)源： 題型：

【題目】已知拋物線的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，焦點(diǎn)在軸的正半軸上，過(guò)焦點(diǎn)作斜率為的直線交拋物線于兩點(diǎn)，且，其中為坐標(biāo)原點(diǎn).

（1）求拋物線的方程；

（2）設(shè)點(diǎn)，直線分別交準(zhǔn)線于點(diǎn)，問(wèn)：在軸的正半軸上是否存在定點(diǎn)，使，若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，若不存在，試說(shuō)明理由.

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