Question

（2008•南匯區(qū)二模）一列火車自A城駛往B城，沿途有n個車站（包括起點站A和終點站B），車上有一節(jié)郵政車廂，每�？恳徽颈阋�卸下前面各站發(fā)往該站的郵袋各一個，同時又要裝上該站發(fā)往后面各站的郵袋各一個，試求：
（1）列車從第k站出發(fā)時，郵政車廂內(nèi)共有郵袋數(shù)是多少個？
（2）第幾站的郵袋數(shù)最多？最多是多少？

Answer 1

分析：（1）根據(jù)理解題意找出題目中所給的等量關(guān)系，找出規(guī)律，寫出郵包個數(shù)y的函數(shù)解析式；
（2）將數(shù)列問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，利用配方法，對n進(jìn)行討論，從而確定相應(yīng)的最值．

解答：解：設(shè)列車從各站出發(fā)時郵政車廂內(nèi)的郵袋數(shù)構(gòu)成一個數(shù)列{a_n}
（1）由題意得：a₁=n-1，a₂=（n-1）+（n-2）-1，a₃=（n-1）+（n-2）+（n-3）-1-2．
在第k站出發(fā)時，前面放上的郵袋共：（n-1）+（n-2）+…+（n-k）個
而從第二站起，每站放下的郵袋共：1+2+3+…+（k-1）個
故a_k=（n-1）+（n-2）+…+（n-k）-[1+2+…+（k-1）]=kn-

1

2

k(k+1)-

1

2

k(k-1)=kn-k2(k=1，2，…，n)
即列車從第k站出發(fā)時，郵政車廂內(nèi)共有郵袋數(shù)kn-k²（k=1，2，…n）個．…（6分）
（2）ak=-(k-

n

2

)2+

1

4

n2當(dāng)n為偶數(shù)時，k=

1

2

n時，最大值為

1

4

n2
當(dāng)n為奇數(shù)時，k=

1

2

(n-1)或k=

1

2

(n+1)時，最大值為

1

4

(n2-1)．
所以，當(dāng)n為偶數(shù)時，第

n

2

站的郵袋數(shù)最多，最多是

1

4

n2個；
當(dāng)n為奇數(shù)時，第

n-1

2

或第

n+1

2

站的郵袋數(shù)最多，最多是

1

4

(n2-1)個．…（14分）

點評：本題的考點是數(shù)列的應(yīng)用，考查了數(shù)列通項的求解，考查二次函數(shù)的性質(zhì)在實際生活中的應(yīng)用，利用函數(shù)思想解決數(shù)列問題，由一定的綜合性