Question

設(shè)等比數(shù)列{a_n}的前n項(xiàng)的和為S_n，公比為q（q≠1）．
（1）若S₄，S₁₂，S₈成等差數(shù)列，求證：a₁₀，a₁₈，a₁₄成等差數(shù)列；
（2）若S_m，S_k，S_t（m，k，t為互不相等的正整數(shù)）成等差數(shù)列，試問數(shù)列{a_n}中是否存在不同的三項(xiàng)成等差數(shù)列？若存在，寫出兩組這三項(xiàng)；若不存在，請說明理由；
（3）若q為大于1的正整數(shù)．試問{a_n}中是否存在一項(xiàng)a_k，使得a_k恰好可以表示為該數(shù)列中連續(xù)兩項(xiàng)的和？請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)S₄，S₁₂，S₈成等差數(shù)列，q≠1，可得S₁₂=S₄+S₈，化簡可得2q⁸=1+q⁴，進(jìn)而可以證明a₁₀，a₁₈，a₁₄成等差數(shù)列；
（2）根據(jù)S_m，S_k，S_t（m，k，t為互不相等的正整數(shù)）成等差數(shù)列，可得2S_k=S_m+S_t，化簡可得2a1qk=a1qm+a1qt，從而可得a_m+1，a_k+1，a_t+1成等差數(shù)列，即可得出結(jié)論；
（3）假設(shè)存在一項(xiàng)a_k，使得a_k恰好可以表示為該數(shù)列中連續(xù)兩項(xiàng)的和，設(shè)a_k=a_n+a_n+1，可得k＞n，q^k-n=1+q
，從而可得結(jié)論．

解答：解：（1）若S₄，S₁₂，S₈成等差數(shù)列，q≠1，則S₁₂=S₄+S₈，
∴

2a1(1-q12)

1-q

=

a1(1-q4)

1-q

+

a1(1-q8)

1-q

∴2q⁸=1+q⁴
∴a₁₀+a₁₄=a1q9+a1q13=a1q9(1+q4)=a1q9•2q8=2a₁₈，
∴a₁₀，a₁₈，a₁₄成等差數(shù)列；
（2）若S_m，S_k，S_t（m，k，t為互不相等的正整數(shù)）成等差數(shù)列，則2S_k=S_m+S_t，
∴

2a1(1-qk)

1-q

=

a1(1-qm)

1-q

+

a1(1-qt)

1-q

∴2q^k=q^m+q^t
∴2a1qk=a1qm+a1qt
∴a_m+1，a_k+1，a_t+1成等差數(shù)列，
∴a_m+2，a_k+2，a_t+2成等差數(shù)列；
（3）假設(shè)存在一項(xiàng)a_k，使得a_k恰好可以表示為該數(shù)列中連續(xù)兩項(xiàng)的和，設(shè)a_k=a_n+a_n+1，
則a1qk-1=a1qn-1+a1qn
∵a₁≠0，q＞1
∴q^k-1=q^n-1+qⁿ
∴q^k=qⁿ+qⁿ⁺¹
∵qⁿ⁺¹＞1
∴q^k＞qⁿ
∴k＞n，q^k-n=1+q
當(dāng)q為偶數(shù)時(shí)，q^k-n為偶數(shù)，而1+q為奇數(shù)，假設(shè)不成立；
當(dāng)q為奇數(shù)時(shí)，q^k-n為奇數(shù)，而1+q為偶數(shù)，假設(shè)也不成立，
綜上，{a_n}中不存在a_k，使得a_k恰好可以表示為該數(shù)列中連續(xù)兩項(xiàng)的和．

點(diǎn)評：本題考查等差數(shù)列與等比數(shù)列的綜合，考查等差數(shù)列的證明，考查學(xué)生分析解決問題的能力，屬于中檔題．