Question

16．已知x，y滿(mǎn)足$\left\{\begin{array}{l}y≥x\\ x+y≤4\\ x≥1\end{array}\right.$，則$\frac{{{y^2}-2xy+3{x^2}}}{x^2}$的取值范圍為（　　）

• A． [2，6]
• B． [2，4]
• C． [1，6]
• D． [1，3]

Answer 1

分析 首先畫(huà)出可行域，將目標(biāo)函數(shù)變形為=$（\frac{y}{x}）^{2}-2\frac{y}{x}+3=（\frac{y}{x}-1）^{2}+2$，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求最值．

解答 解：不等式組表示的平面區(qū)域如圖：則$\frac{{{y^2}-2xy+3{x^2}}}{x^2}$=$（\frac{y}{x}）^{2}-2\frac{y}{x}+3=（\frac{y}{x}-1）^{2}+2$，而$\frac{y}{x}$表示區(qū)域內(nèi)的點(diǎn)與原點(diǎn)連接的直線(xiàn)的斜率，所以過(guò)A時(shí)最小，過(guò)C時(shí)最大，
因此$\frac{y}{x}∈[1，3]$，所以$\frac{{{y^2}-2xy+3{x^2}}}{x^2}$∈[2，6]；
故選：A．

點(diǎn)評(píng) 本題考查了簡(jiǎn)單線(xiàn)性規(guī)劃問(wèn)題，首先正確畫(huà)出可行域，利用目標(biāo)函數(shù)的幾何意義求最值；利用了數(shù)形結(jié)合的思想．