Question

已知橢圓

y2

5

+x²=1與拋物線x²=ay有相同的焦點(diǎn)F，O為原點(diǎn)，點(diǎn)P是拋物線準(zhǔn)線上一動點(diǎn)，點(diǎn)A在拋物線上，且|AF|=4，則|PA|+|PO|的最小值為（　�。�

• A、2

  13

• B、4

  2

• C、3

  13

• D、4

  6

Answer 1

考點(diǎn)：橢圓的簡單性質(zhì)

專題：圓錐曲線中的最值與范圍問題

分析：利用拋物線的定義由|AF|=4得到A到準(zhǔn)線的距離為4，即可求出點(diǎn)A的坐標(biāo)，最后利用平面幾何的方法即可求出距離之和的最小值．

解答： 解：∵橢圓

y2

5

+x²=1，∴c²=5-1=4，即c=2，則橢圓的焦點(diǎn)為（0，±2），
不妨取焦點(diǎn)（0，2），
∵拋物線x²=ay=4（

a

4

）y，
∴拋物線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（0，

a

4

），
∵橢圓

y2

5

+x²=1與拋物線x²=ay有相同的焦點(diǎn)F，
∴

a

4

=2，即a=8，則拋物線方程為x²=8y，準(zhǔn)線方程為y=-2，
∵|AF|=4，由拋物線的定義得，
∴A到準(zhǔn)線的距離為4，y+2=4，
即A點(diǎn)的縱坐標(biāo)y=2，
又點(diǎn)A在拋物線上，
∴x=±4，不妨取點(diǎn)A的坐標(biāo)A（4，2）；
A關(guān)于準(zhǔn)線的對稱點(diǎn)的坐標(biāo)為B（4，-6）
則|PA|+|PO|=|PB|+|PO|≥|OB|，
即O，P，B三點(diǎn)共線時，有最小值，
最小值為|AB|=

42+(-6)2

=

16+36

=

52

=2

13

．
故選：A

點(diǎn)評：本題主要考查學(xué)生靈活運(yùn)用拋物線的簡單性質(zhì)解決最小值問題，靈活運(yùn)用點(diǎn)到點(diǎn)的距離、對稱性化簡求值，是一道中檔題．