Question

15．若不等式|x+1|+|$\frac{1}{x}$-1|≤a有解，則實數(shù)a的取值范圍是（　�。�

• A． a≥2
• B． a＜2
• C． a≥1
• D． a＜1

Answer 1

分析 令f（x）=|x+1|+|$\frac{1}{x}$-1|，通過討論a的范圍，求出f（x）的最小值，問題轉(zhuǎn)化為a≥f（x）_min，求出a的范圍即可．

解答 解：令f（x）=|x+1|+|$\frac{1}{x}$-1|，
①x≥1時，f（x）=x+2-$\frac{1}{x}$，
f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，f（x）在[1，+∞）遞增，
故f（x）_min=f（1）=2，
②0＜x＜1時，f（x）=x+$\frac{1}{x}$，
f′（x）=$\frac{（x+1）（x-1）}{x}$＜0，
故f（x）在（0，1）遞減，
f（x）＞f（1）=2，
③-1＜x＜0時，f（x）=x+2-$\frac{1}{x}$，
f′（x）=1+$\frac{1}{{x}^{2}}$＞0，f（x）在（-1，0）遞增，
f（x）＞f（-1）=2，
④x≤-1時，f（x）=-x-$\frac{1}{x}$，
f′（x）=-1+$\frac{1}{{x}^{2}}$＜0，f（x）在（-∞，-1]遞減，
f（x）＞f（-1）=2，
綜上，f（x）的最小值是2，
若不等式|x+1|+|$\frac{1}{x}$-1|≤a有解，
即a≥f（x）_min，
故a≥2，
故選：A．

點評 本題考查了函數(shù)的單調(diào)性、最值問題，考查轉(zhuǎn)化思想，分類討論思想，是一道中檔題．