5.設(shè)數(shù)列{an}為等差數(shù)列,且a11=$\frac{π}{2}$,若f(x)=sin2x+2cos2$\frac{x}{2}$,記bn=f(an),則數(shù)列{bn}的前21項(xiàng)和為21.

分析 由f(x)=sin2x+cos2x+1=$\sqrt{2}sin(2x+\frac{π}{4})$+1,可知f(x)關(guān)于$(\frac{π}{2},1)$中心對(duì)稱(chēng).又?jǐn)?shù)列{an}為等差數(shù)列,故f(a1)+f(a21)=2f(a11),且f(a11)=$f(\frac{π}{2})$=1,再利用等差數(shù)列的求和公式即可得出.

解答 解:由f(x)=sin2x+2cos2$\frac{x}{2}$=sin2x+cos2x+1=$\sqrt{2}sin(2x+\frac{π}{4})$+1.
可知f(x)關(guān)于$(\frac{π}{2},1)$中心對(duì)稱(chēng),
又?jǐn)?shù)列{an}為等差數(shù)列,故f(a1)+f(a21)=2f(a11),且f(a11)=$f(\frac{π}{2})$=1,
故{bn}的前21項(xiàng)的和S21=$\frac{21(f({a}_{1})+f({a}_{21}))}{2}$=21f(a11)=21.
故答案為:21.

點(diǎn)評(píng) 本題考查了三角函數(shù)的圖象與性質(zhì)、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式求和公式及其性質(zhì),考查了推理能力與計(jì)算能力,屬于中檔題.

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