Question

已知點P是雙曲線

x2

4

-

y2

12

=1上一點，M，N是雙曲線的左，右頂點，若直線PM的斜率的取值范圍是[2，3]，則直線PN的斜率的取值范圍是

 

．

Answer 1

考點：雙曲線的簡單性質

專題：計算題,圓錐曲線的定義、性質與方程

分析：先求出M、N的坐標，設點P的坐標，則點P的坐標滿足橢圓的方程，計算直線PM的斜率與直線PN的斜率之積等于定值，求出PM的斜率取最值時，PN的斜率的值，即得PN的斜率的取值范圍．

解答： 解：M（-2，0）、N（2，0），設點P的坐標（x，y），則有y²=3（x²-4），
直線PM的斜率與直線PN的斜率之積等于

y

x+2

•

y

x-2

=3，
∵PM的斜率的取值范圍是[2，3]，
∴PN的斜率的取值范圍為[1，

3

2

]，
故答案為：[1，

3

2

]．

點評：本題考查雙曲線的簡單性質的應用，本題的關鍵是利用直線PM的斜率與直線PN的斜率之積等于定值．