Question

【題目】設(shè)函數(shù)．

（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；

（2），恒成立，求最大的正整數(shù)的值；

（3），且，證明：．

Answer 1

【答案】（1）單調(diào)遞減區(qū)間為，單調(diào)遞增區(qū)間為；（2）8；（3）證明見解析.

【解析】

（1）時,函數(shù),求導(dǎo)可得,可知函數(shù)在上單調(diào)遞增,而,即可得出單調(diào)區(qū)間；

（2）,恒成立,即,化為很成立,利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性求得的最小值即可求解.

（3）,且,要證明：．

,,

即,

令,即證明時,恒成立；時,恒成立,利用導(dǎo)數(shù)研究單調(diào)性,進(jìn)而證明即可.

（1）解:時,函數(shù),

則,

因為函數(shù)在上單調(diào)遞增,

且,∴時,；時,,

∴函數(shù)的單調(diào)遞減區(qū)間為,單調(diào)遞增區(qū)間為.

（2）解:因為,恒成立,

即恒成立,則恒成立.

因為,

令,所以,則當(dāng)時,；當(dāng)時,,

所以當(dāng)時,函數(shù)取得極小值即最小值,

因為,

所以,

所以的最大正整數(shù)值為8.

（3）證明:,且,

要證明,

只需證,．

即證,

設(shè),

則時,恒成立；時,恒成立,

當(dāng)時,,

,

因為函數(shù)在內(nèi)單調(diào)遞增,且,∴,

所以在時單調(diào)遞減,

所以,

所以在內(nèi)單調(diào)遞增,

所以,成立；

同理可得時,恒成立,

綜上可得,,且,