Question

22、如圖所示，已知PA與⊙O相切，A為切點，PBC為割線，，弦CD∥AP，AD、BC相交于E點，F(xiàn)為CE上一點，且DE²=EF•EC．
（Ⅰ）求證：∠P=∠EDF；
（Ⅱ）求證：CE•EB=EF•EP．

Answer 1

分析：對于（Ⅰ）求證：∠P=∠EDF，因為由已知顯然∠C=∠P，故轉(zhuǎn)化為證∠EDF=∠C，則只需根據(jù)已知證明△DEF∽△CED，即可得到答案．
（Ⅱ）求證：CE•EB=EF•EP，由（Ⅰ）求得的∠P=∠EDF，和對頂角∠DEF=∠PEA，易得到△DEF∽△PEA．根據(jù)相似三角形邊的比例關(guān)系和圓內(nèi)兩弦相交的比例關(guān)系，綜合起來即可得到答案．

解答：證明：（1）∵DE²=EF•EC，∴DE：CE=EF：ED．
又∵∠DEF是公共角，
∴△DEF∽△CED．∴∠EDF=∠C．
∵CD∥AP，∴∠C=∠P．
∴∠P=∠EDF．
（2）∵∠P=∠EDF，∠DEF=∠PEA，
∴△DEF∽△PEA．∴DE：PE=EF：EA．即EF•EP=DE•EA．
∵弦AD、BC相交于點E，∴DE•EA=CE•EB．∴CE•EB=EF•EP．
故得證．

點評：此題主要考查相似三角形的性質(zhì)及圓內(nèi)比例關(guān)系的問題，對于此類簡單平面幾何的問題一般都是基礎(chǔ)類型的題目，同學(xué)們只需認真分析已知即可得到答案，