Question

【題目】已知橢圓：的左、右焦點(diǎn)分別為，，上頂點(diǎn)為M，過(guò)點(diǎn)M且斜率為的直線與交于另一點(diǎn)N，過(guò)原點(diǎn)的直線l與交于P，Q兩點(diǎn)

（1）求周長(zhǎng)的最小值：

（2）是否存在這樣的直線，使得與直線平行的弦的中點(diǎn)都在該直線上?若存在，求出該直線的方程：若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

（3）直線l與線段相交，且四邊形的面積，求直線l的斜率k的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）10；（2）存在滿足條件的直線，其方程為；（3）.

【解析】

（1）根據(jù)橢圓的對(duì)稱(chēng)性和橢圓的定義，可知當(dāng)弦的長(zhǎng)度最小值時(shí)，的周長(zhǎng)取得最小值；

（2）設(shè)與直線平行的弦所在的直線方程為，將其代入曲線的方程，根據(jù)韋達(dá)定理和中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得中點(diǎn)坐標(biāo)，消去參數(shù)可得結(jié)果；

（3）設(shè)直線l的方程為，代入曲線，解得兩個(gè)交點(diǎn)坐標(biāo)，聯(lián)立直線與曲線的方程，解得的坐標(biāo)，求出點(diǎn)到直線的距離，然后求出四邊形的面積，根據(jù)解不等式可得結(jié)果.

（1）連接，又直線l過(guò)原點(diǎn)，由橢圓的對(duì)稱(chēng)性得，

則的周長(zhǎng)，

要使得的周長(zhǎng)最小，即過(guò)原點(diǎn)的弦最短，

由橢圓的性質(zhì)可知，當(dāng)弦與的短軸重合時(shí)最短，即弦的最小值為4，

則周長(zhǎng)的最小值為10.

（2）依題意，設(shè)與直線平行的弦所在的直線方程為，與的交點(diǎn)坐標(biāo)為，，

平行弦中點(diǎn)的坐標(biāo)為，

聯(lián)立，化簡(jiǎn)整理得，

當(dāng)

即時(shí)，平行弦存在，

則，，則，

故存在滿足條件的直線，其方程為.

（3）設(shè)直線l的方程為，點(diǎn)，.（不妨設(shè)），

由消去并化簡(jiǎn)得，即，，

依題意，直線的方程為，

由，得，解得或，

所以，，所以，，

則.

又l與線段有交點(diǎn)且為四邊形，所以，即，

點(diǎn)P，Q到直線的距離分別為，，

則

，

又，即.

化簡(jiǎn)整理得，，解得，

又，所以.

則所求的直線l的斜率k的取值范圍為.